對稱直線公式(對稱直線的求法)

一位昵稱“==唄”的讀者朋友留言詢問：

老師，我想請教您一些直線與點(diǎn)之間的對稱性問題（比如直線相對于直線的對稱直線方程）。有沒有靈活的解決方案？因?yàn)槲以谟?jì)算這些問題的時(shí)候，總是要找到一個(gè)對稱點(diǎn)或者斜率，這是非常耗時(shí)的，需要太多的計(jì)算。

==,

確實(shí)，你提到的對稱問題就屬于這種類型：有想法，想法很清楚，但仍然需要大量的計(jì)算。

由于需要求解對稱點(diǎn)，計(jì)算量較大。

如何避免尋找對稱點(diǎn)？

以“求關(guān)于直線m對稱的直線n的方程：x+y-1=0關(guān)于直線p：3x-y-3=0”為例，講兩種方法，不尋找對稱點(diǎn)。

1

角平分線法

畫出符合問題含義的圖像如下。

首先求直線m與對稱軸p的交點(diǎn)坐標(biāo)，即A(0,1)。

顯然，A點(diǎn)位于所需的直線n上。

由于直線m和n關(guān)于直線n對稱，因此我們可以將p視為角平分線。

在直線p上選取一個(gè)特殊點(diǎn)。當(dāng)然計(jì)算越方便越好。通常是坐標(biāo)軸上的一個(gè)點(diǎn)。

我們?nèi)≈本€p和y軸的交點(diǎn)B(0,-3)。根據(jù)角平分線的性質(zhì)，B點(diǎn)到直線m和直線n的距離相等。

2

到角公式法

上學(xué)的時(shí)候要學(xué)角度公式（暴露年齡），但是現(xiàn)在的課本已經(jīng)被砍掉了。

其實(shí)并不復(fù)雜。

如下所示。

線m和線n相交于點(diǎn)P，且線m繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，第一次與n重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角稱為直線m到直線n的角.

那么，直線n和直線m之間的角度是多少？

根據(jù)定義，它應(yīng)該是角度。

我們可以看出，角是有方向的角，也稱為有向角。

下面介紹角度公式。

其中是到的角度。

k1是原始直線的斜率，k2是到直線的斜率。

也就是說分子是逆時(shí)針方向箭頭所指的直線斜率減去另一斜率.

3

用到角公式優(yōu)化解題

回到原來的話題。

顯然，直線p與直線m之間的夾角等于直線n與直線p之間的夾角。

設(shè)直線n的斜率為k。

因?yàn)橹本€m的斜率為-1，直線p的斜率為3，根據(jù)角度公式：

又因?yàn)橹本€n經(jīng)過點(diǎn)A(0,1)，所以直線n的方程為x-7y-1=0。