如何判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性(如何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性)

問(wèn)題無(wú)疑是“復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性”。復(fù)合函數(shù)是高中知識(shí)中的難點(diǎn)。困難在于內(nèi)層和外層的變化會(huì)干擾整體的變化。大多數(shù)復(fù)合函數(shù)無(wú)法直接繪制其圖像，無(wú)法直觀地識(shí)別，因此很容易混淆。

復(fù)合函數(shù)有兩種最常見(jiàn)的問(wèn)題類(lèi)型。一是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，包括求單調(diào)區(qū)間和參數(shù)單調(diào)性的討論；二是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，包括正切斜率、正切方程和相關(guān)的不等式問(wèn)題。

一、復(fù)合函數(shù)的概念

1、復(fù)合函數(shù)的定義：

iframe'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='y'角色='演示'yy是'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='u'role='演示'uu的函數(shù)，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='u'角色='演示'uu是rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='x'role='presentation'xx函數(shù)，即rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='y=f(u),u=g(x)'角色='演示'y=f(u),u=g(x)y=f\left(u\right),u=g\left(x\right)，然后rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='y'角色='演示'yy關(guān)于rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='x'角色='演示'xx函數(shù)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='f(g(x))'role='presentation'f(g(x))f\left(g\left(x\right)\right)調(diào)用函數(shù)rame'tabindex='0'樣式='字體大?。?00%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：顏色：綠色；'data-mathml='y=f(u),u=g(x)'角色='演示'y=f(u),u=g(x)y=f\left(u\right),u=g\left(x\right)和的復(fù)合函數(shù)。其中rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='u'role='presentation'uu是中間變量，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='x'role='presentation'xx為自變量，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='y'role='presentation'yy是函數(shù)值。

2、復(fù)合函數(shù)舉例：

例如，functionrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='y=x2#x2212;1'role='presentation'y=x21y=\sqrt{x^{2}-1}由函數(shù)rame'tabindex='0'style='確定字體大?。?00%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='y=u'角色='演示'y=uy=\sqrt{u}和函數(shù)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='u=x2#x2212;1'角色='演示'u=x21u=x^{2}-1;函數(shù)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='y=sin(2x#x2212;#x03C0;3)'角色='演示'y=sin(2x3)y=sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\右）由函數(shù)rame'tabindex='0'style='font-size:100%確定；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='y=sinu'角色='演示'y=sinuy=sinu和函數(shù)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='u=2x#x2212;#x03C0;3'role='presentation'u=2x3u=2x-\frac{\pi}{3}是復(fù)合的。

【筆記】

復(fù)合函數(shù)不是基本初等函數(shù)的一種，而是一種函數(shù)運(yùn)算，類(lèi)似于加法、減法、乘法和除法?；境醯群瘮?shù)包括五類(lèi)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)，這些函數(shù)可以通過(guò)加、減、乘、除、合成等方式組成初等函數(shù)。例如復(fù)合函數(shù)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='f(x)=log2(x3)'角色='演示'f(x)=log2(x3)f\left(x\right)=log_{2}\left(x^{3}\right)是對(duì)數(shù)函數(shù)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='y=log2u'role='presentation'y=log2uy=log_{2}u和冪函數(shù)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='u=x3'角色='演示'u=x3u=x^{3}。

二、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

1、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定：

對(duì)于函數(shù)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='y=f(u),u=g(x)'角色='演示'y=f(u),u=g(x)y=f\left(u\right),u=g\left(x\right),iframe'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='u=g(x)'角色='演示'u=g(x)u=g\left(x\right)在區(qū)間ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='(a,b)'role='presentation'(a,b)\left(a,b\right)上存在單調(diào)性，當(dāng)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：顏色：綠色；'data-mathml='x#x2208;(a,b)'角色='演示'x(a,b)x\in\left(a,b\right),Rame'tabindex='0'style='字體大?。?00%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='u#x2208;(m,n)'role='presentation'u(m,n)u\in\left(m,n\right)，并且rame'tabindex='0'style='字體大?。?00%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='y=f(u)'角色='演示'y=f(u)y=f\left(u\right)inrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：顏色：綠色；'data-mathml='(m,n)'role='presentation'(m,n)\left(m,n\right)具有單調(diào)性，則復(fù)合函數(shù)rame'tabindex='0'style='font-尺寸：100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='f(g(x))'role='presentation'f(g(x))f\left(g\left(x的單調(diào)性\right)\right)滿(mǎn)足以下規(guī)則：

外層功能增加、減少、減少。內(nèi)在功能增加、減少、減少。復(fù)合函數(shù)增加、減少、減少。[筆記](méi)

上表的規(guī)律可以概括為：同增異減。即外層函數(shù)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='y=f(u)'role='presentation'y=f(u)y=f\left(u\right)和內(nèi)部函數(shù)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='u=g(x)'role='presentation'u=g(x)u=g\left(x\right)具有相同的單調(diào)性，則復(fù)合函數(shù)rame'tabindex='0'樣式='字體-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='f(g(x))'role='presentation'f(g(x))f\left(g\left(x\right)\right)單調(diào)遞增；外部函數(shù)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='y=f(u)'role='presentation'y=f(u)y=f\left(u\right)和內(nèi)部函數(shù)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='u=g(x)'role='presentation'u=g(x)u=g\left(x\right)具有相反的單調(diào)性，則復(fù)合函數(shù)rame'tabindex='0'樣式='字體大?。?00%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='f(g(x))'role='presentation'f(g(x))f\left(g\left(x\right)\right)單調(diào)遞減。

2、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的證明：

【證明】

設(shè)置rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='#x2200;x1,x2#x2208;(a,b)'角色='演示'x1,x2(a,b)\forallx_{1},x_{2}\in\left(a,b\right)，并且rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='x1lt;x2'角色='演示'x1x2x_{1}x_{2}。

按rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='u=g(x)'角色='演示'u=g(x)u=g\left(x\right)inrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='(a,b)'role='presentation'(a,b)\left(a,b\right)單調(diào)遞增

t(x2)'角色='演示'g(x1)g(x2)g\left(x_{1}\right)g\left(x_{2}\right)和rame'tabindex='0'style='字體-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='g(x1),g(x2)#x2208;(m,n)'角色='演示'g(x1),g(x2)(m,n)g\left(x_{1}\right),g\left(x_{2}\right)\in\left(m,n\right)。

也ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='y=f(u)'角色='演示'y=f(u)y=f\left(u\right)inrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='(m,n)'角色='演示'(m,n)\left(m,n\right)，則

t(g\left(x_{1}\right)\right)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='f(g(x1))lt;f(g(x2))'角色='演示'f(g(x1))f(g(x2))f\left(g\left(x_{1}\right)\right)f\left(g\left(x_{2}\right)\right),

即rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='f(g(x))'角色='演示'f(g(x))f\left(g\left(x\right)\right)israme'tabindex='0'style='字體大小：100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='(a,b)'role='在'presentation'(a,b)\left(a,b\right)上增加函數(shù)。

【筆記】

這里單調(diào)性的證明采用定義的方法。上述證明是第一個(gè)證明，其他情況也是如此。

三、典型例題賞析

1、題目解答：

[標(biāo)題]

討論函數(shù)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='f(x)=0.8x2#x2212;4x+3'作用='表示'f(x)=0.8x24x+3f\left(x\right)=0.8^{x的單調(diào)性^{2}-4x+3}。

【分析】

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可以從兩個(gè)方面來(lái)判斷：一是分為內(nèi)函數(shù)和外函數(shù)進(jìn)行討論，二是利用導(dǎo)數(shù)工具來(lái)判斷。一般我們采用前者，因?yàn)楹笳叩耐茖?dǎo)往往比較復(fù)雜。

【方法一】

函數(shù)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='f(x)'role='presentation'f(x)f\left(RR,

內(nèi)部函數(shù)rame'tabindex='0

"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="u=x2?4x+3=(x?2)2?1≥?1"role="presentation">u=x2?4x+3=(x?2)2?1≥?1u=x^{2}-4x+3=\left(x-2\right)^{2}-1\geq-1，

且在rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="(?∞,2)"role="presentation">(?∞,2)\left(-\infty,2\right)單調(diào)遞減，在rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="(2,+∞)"role="presentation">(2,+∞)\left(2,+\infty\right)單調(diào)遞增。

外層函數(shù)rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="y=0.8u"role="presentation">y=0.8uy=0.8^{u}在rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="[?1,+∞)"role="presentation">[?1,+∞)[-1,+\infty)單調(diào)遞減，

故復(fù)合函數(shù)rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="f(x)"role="presentation">f(x)f\left(x\right)在rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="(?∞,?2)"role="presentation">(?∞,?2)\left(-\infty,-2\right)單調(diào)遞增，

在rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="(2,+∞)"role="presentation">(2,+∞)\left(2,+\infty\right)單調(diào)遞減。

【注】

這里的單調(diào)區(qū)間也可取為rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="(?∞,2]"role="presentation">(?∞,2](-\infty,2]和rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="[2,+∞)"role="presentation">[2,+∞)[2,+\infty)。

【法2】

函數(shù)rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="f(x)"role="presentation">f(x)f\left(x\right)的定義域?yàn)閞ame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="R"role="presentation">RR，求導(dǎo)得

rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="f′(x)=0.8x2?4x+3ln0.8×(2x?4)"role="presentation">f′(x)=0.8x2?4x+3ln0.8×(2x?4)f^{}\left(x\right)=0.8^{x^{2}-4x+3}ln0.8\times\left(2x-4\right)。

令0">rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="f′(x)>0"role="presentation">f′(x)>0f^{}\left(x\right)>0得遞增區(qū)間為rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="(?∞,2)"role="presentation">(?∞,2)\left(-\infty,2\right)，

令t(x\right)rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="f′(x)<0" role="presentation">f′(x)<0f^{}\left( x \right)<0 得遞減區(qū)間為rame" tabindex="0" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative; color: green;" data-mathml="(2,+∞)" role="presentation">(2,+∞)\left(2,+\infty\right)。

【注】

法2中，指數(shù)函數(shù)部分0">rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="0.8x2?4x+3>0"role="presentation">0.8x2?4x+3>00.8^{x^{2}-4x+3}>0，而對(duì)數(shù)rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="ln0.8<0" role="presentation">ln0.8<0ln0.8<0 ，故直接解一次不等式即可。

2、相似題型：

【例題】

求函數(shù)rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="f(x)=log2(x2?2x?3)"role="presentation">f(x)=log2(x2?2x?3)f\left(x\right)=log_{2}\left(x^{2}-2x-3\right)的單調(diào)區(qū)間。

【答案】

單調(diào)遞增區(qū)間為rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="[3,+∞)"role="presentation">[3,+∞)[3,+\infty)，單調(diào)遞減區(qū)間為rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="(?∞,?1]"role="presentation">(?∞,?1](-\infty,-1]。

以上。

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