實對稱矩陣知乎(實對稱矩陣有哪些定理)
又名：TOPE和健美操決賽將于明天舉行，但我在這里寫下.
u1s1，有時候?qū)懣偨Y(jié)或者看書的時候都會感到不安……就記錄一下今天看到的比較有用的結(jié)論吧。8)今天老師講的很多地方都很模糊。TT理解起來很累。
實對稱矩陣
實對稱矩陣的性質(zhì)
引理1:對稱變換以及實對稱矩陣的特征值一定是實數(shù)
pf:
rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='assume#xA0;A#x03B1;=#x03BB;#x03B1;(1)role='presentation'的共軛表示為假設(shè)A=,(1)的共軛\阿爾法是\overline{\alpha}\
rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)數(shù)學(xué)='#x03B1;#x00AF;#x2032;'role='presentation'′\overline\alpha的含義：對向量的每一維取共軛數(shù)，然后將列向量轉(zhuǎn)換為行向量
然后乘以rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='#x03B1;#x00AF;'(1)中的角色='演示'\overline{\alpha}
rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03B1;#x00AF;#x2032;(A#x03B1;)=#'角色='演示'′(A)=′′A=(A′)=(Aˉ)\overline{\alpha}(A\alpha)=\overline{\alpha}A\alpha=(A\overline{\alpha})\alpha=(\overline{A\alpha})\alpha
注意：為什么最后一個等號成立？這是因為A是實對稱矩陣
命題：在復(fù)數(shù)領(lǐng)域，a的虛部為0當(dāng)且僅當(dāng)a=a的共軛。因此，由于A的各個位置的元素都是實數(shù)，所以取共軛后，仍然等于原來的A。這樣就有：
rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='(A#x03B1;#x00AF;)#x2032;#x03B1;=#x03B1;#x00AF;#x2032;#x03BB;#x03B1;#xA0;for#x03BB;#xA0;is#xA0;a#xA0;數(shù)字，#xA0;所以#xA0;我們#xA0;可以#xA0;改變#xA0;它的#xA0;序列#xA0;然后，#xA0;我們#xA0;得到#xA0;(A#x03B1;#x00AF;)#x2032;#x03B1;=#x03BB;#x03B1;#x00AF;#x2032;#x03B1;#xA0;(#x03BB;#x03B1;#x00AF;)#x2032;#x03B1;=#x03BB;#x03B1;#x00AF;#x2032;#x03B1;#x03BB;#x00AF;#x03B1;#x00AF;#x2032;#x03B1;=#x03BB;#x03B1;#x00AF;#x2032;#x03B1;#xA0;而#xA0;#x03B1;#x00AF;#x2032;#x03B1;=x1#x00AF;x1+x2#x00AF;x2+.+xn#x00AF;xn#xA0;'role='presentation'(A′)=′′′,對于是一個數(shù)字，所以我們可以改變它的順序，那么，wegot(A′)=′′(′)′=′′′,′′′=而=x1x1+x2x2+.+xnxn(\overline{A\alpha})\alpha={\overline\alpha}\lambda\alpha,\\\因為\lambda\是\一個\數(shù)字，\所以\我們\可以\改變\其\序列\(zhòng)\\那么，\我們\得到\(\overline{A\alpha})\alpha=\lambda\overline{\alpha}\alpha\\\(\overline{\lambda\alpha})\alpha=\lambda\overline{\alpha}\alpha,\\\overline{\lambda}\overline{\alpha}\alpha=\lambda\overline{\alpha}\alpha\\\while\\overline{\alpha}\alpha=\overline{x_1}{x_1}+\overline{x_2}{x_2}+.+\overline{x_n}x_n\\\
由于之前提到的一個結(jié)論：rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='根據(jù)#xA0;to:#xA0;aa#x00AF;#x2208;R,#x2200;a#x2208;C'角色='演示'根據(jù)：aR,aC\\根據(jù)\to:\a\overline{a}\inR,\foralla\inC\\
又因為這里是一個特征向量：0，\\\我們\可以\得出\that:\overline{\lambda}-\lambda=0.\\\\所以，\lambda\in\R'rame'tabindex='0'樣式='字體大?。?00%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='and#xA0;#x03B1;#x2260;0(因為#xA0;#x03B1;#xA0;是#xA0;a#xA0;特征向量)#xA0;因此，#xA0;來自#xA0;(#x03BB;#x00AF;#xA0;#x2212;#x03BB;)(#x03B1;#x00AF;#x03B1;)=0,和#xA0;#x03B1;#x00AF;#x03B1;gt;0,#xA0;我們#xA0;可以#xA0;結(jié)論#xA0;that:#x03BB;#x00AF;#x2212;#x03BB;=0.#xA0;#xA0;所以，#x03BB;#x2208;#xA0;R'角色='表示'且0（因為是特征向量），因此，由(′)(′)=0，且′0，我們可以得出：′′=0。所以，Rand\\alpha\ne0(因為\\alpha\是\a\特征向量)\\\因此，\from\(\overline{\lambda}\-\lambda)(\overline{\alpha}\alpha)=0,\\且\\overline{\alpha}\alpha0,\\\我們\可以\得出結(jié)論\:\overline{\lambda}-\lambda=0。\\\\所以，\lambda\in\R
小結(jié)：
列向量轉(zhuǎn)置的目的
(1)轉(zhuǎn)位、改變運(yùn)算順序方便。行向量*列向量=數(shù)字。數(shù)字作為一個整體可以任意調(diào)換。同時數(shù)字整體在運(yùn)算時還可以改變乘法的順序==
(2)對于特殊的向量轉(zhuǎn)置和乘法，可以確定相應(yīng)元素的符號。==
例如：根據(jù)已知定理，復(fù)數(shù)范圍內(nèi)rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03B1;#x2217;#x03B1;#x00AF;=||#x03B1;||2'角色='演示'*=||||2\alpha*\overline{\}=||\||^2。即：將復(fù)數(shù)與其自身的共軛相乘，得到其自身模的平方（a^2+b^2）。
從這一點(diǎn)我們可以得到一個推論：n維向量rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='#x03B7;#xFF0C;'role='presentation',eta,\eta,ifknownrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03B7;#x2260;0,'role='presentation'0,\eta\ne0,則：0.'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='#x03B7;#x03B7;#x00AF;gt;0。'角色='演示'\eta\overline{\eta}0.\eta\overline{\eta}0.并且，rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03B7;#x03B7;#x00AF;=0'角色='演示'=0\eta\overline{\eta}=0當(dāng)且僅當(dāng)rame'tabindex='0'style='字體大?。?00%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03B7;=0'角色='演示'=0\eta=0
引理2:對稱變換及實對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量，相互正交
請注意，對稱變換和實對稱矩陣之間的聯(lián)系是通過正交基建立的：一組正交基下的對稱變換矩陣是實對稱矩陣。因此，我們只需證明實對稱矩陣對應(yīng)的對稱變換的不同特征值的特征向量彼此正交即可。
pf:(求兩邊的內(nèi)積)(\alpha,\beta)=0'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='假設(shè)#xA0;#x03BC;#x2260;#xA0;#x03BB;#xA0;#x03B1;=#x03BC;#x03B1;#xA0;#xA0;#x03B2;=#x03BB;#x03B2;#xA0;(#x03B1;#x03B2;)=(#x03BC;#x03B1;#x03B2;)=#x03BC;(#x03B1;#x03B2;)#xA0;對于#xA0;#xA0;是#xA0;對稱#xA0;變換#xA0;然后#xA0;(#x03B1;#x03B2;)=(#x03B1;#x03B2;)=(#x03B1;#x03BB;#x03B2;)=#x03BB;(#x03B1;#x03B2;)#xA0;所以，#xA0;#x03BC;(#x03B1;#x03B2;)=#x03BB;(#x03B1;#x03B2;)#xA0;for#xA0;#x03BC;#x2260;#x03BB;#xA0;so#xA0;(#x03BC;#x2212;#x03BB;)(#x03B1;#x03B2;)=0=gt;(#x03B1;#x03B2;)=0'role='presentation'假設(shè)==(,)=(,)=(.)進(jìn)行對稱變換則(,)=(,)=(,)=(,)so,(,)=(,)forso()(,)=0=(,)=0假設(shè)\\mu\ne\\lambda\\\\alpha=\mu\alpha\\\\\beta=\lambda\beta\\\(\alpha,\beta)=(\mu\alpha,\beta)=\mu(\alpha.\beta)\\\為\\是\對稱\變換\\\則\(\alpha,\beta)=(\alpha,\beta)=(\alpha,\lambda\beta)=\lambda(\alpha,\beta)\\\so,\\mu(\alpha,\beta)=\lambda(\alpha,\beta)\\largefor\\mu\ne\lambda\\\so\(\mu-\lambda)(\alpha,\beta)=0=(\alpha,\beta)=0
引理3:若V的子空間rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="V1"role="presentation"V1V_1是-子空間，則rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="V1"role="presentation"V1V_1的正交補(bǔ)rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="V1#x22A5;"role="presentation"V1V_1^{\bot}也是-子空間
引理4:n階實對稱矩陣一定有n個線性無關(guān)的特征向量
當(dāng)實對稱矩陣有n個不同的特征值時，顯然有n個線性無關(guān)的特征向量。然而，當(dāng)實數(shù)對稱矩陣有s個特征值時，s個實數(shù)對稱矩陣的特征值的幾何重數(shù)等于代數(shù)重數(shù)。**
連接：矩陣進(jìn)行對角化的充要條件：
(1)特征多項式的所有根都屬于這個數(shù)域P
(2)對于特征多項式中的每個特征值，幾何重數(shù)等于代數(shù)重數(shù)。自然地，實對稱矩陣必須是可對角化的，這相當(dāng)于實對稱矩陣的特征值必須是實數(shù)，并且對于每個實對稱矩陣特征值rame'tabindex='0'style='字體大?。?00%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03BB;i'role='presentation'i\lambda_iall有rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03BB;i'role='presentation'i\lambda_i對應(yīng)特征子空間rame的維度'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='dim(V#x03BB;i)'role='presentation'dim(Vi)dim(V_{\lambda_i})等于rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'特征多項式中的data-mathml='(#x03BB;#x2212;#x03BB;i)ti'role='presentation'(i)ti(\lambda-\lambda_i)^{t_i}次。事實上，代數(shù)重數(shù)等于rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='dim(V#x03BB;i)=dim(N#xA0;(A#x2212;#x03BB;iI)#xA0;)'角色='演示'dim(Vi)=dim(N(AiI))dim(V_{\lambda_i})=dim(N\(A-\lambda_iI)\)即線性方程組基本解系所包含的向量個數(shù)。
注意：引理4并不意味著實數(shù)對稱矩陣的相同特征值對應(yīng)的特征向量是線性無關(guān)的。顯然情況不一定如此。從“n階實對稱矩陣必須有n個線性無關(guān)的特征向量”不能推導(dǎo)出“具有相同特征值的特征向量是線性無關(guān)的”。引理4只能解釋：實對稱矩陣對應(yīng)的對角矩陣中是否存在重復(fù)的特征值。那么，這些特征值重復(fù)出現(xiàn)的次數(shù)必須等于其對應(yīng)的特征子空間的維數(shù)。換句話說，在這些特征值對應(yīng)的特征子空間中，基是由與重復(fù)次數(shù)對應(yīng)的向量組成的。
PF：我還沒有看到任何更容易理解的東西。但可以從其對應(yīng)的對角矩陣來理解。因為對于對角矩陣A，方程rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='(#x03BB;iE#x2212;A)X=0'角色='演示'(iEA)X=0(\lamb
da_iE-A)X=0的基礎(chǔ)解系的向量個數(shù)是顯然的。從方程組的角度來看幾何重數(shù)和代數(shù)重數(shù)往往比較直觀。因為，對于對角矩陣或者Jordan標(biāo)準(zhǔn)形來說，幾何重數(shù)就是rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="(λiE?A)X=0"role="presentation">(λiE?A)X=0(\lambda_iE-A)X=0的解空間的維數(shù)；代數(shù)重數(shù)就是在對角線中rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λi"role="presentation">λi\lambda_i出現(xiàn)的次數(shù)。這也就解釋了，對于Jordan標(biāo)準(zhǔn)形rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="JA"role="presentation">JAJ_A來說，當(dāng)且僅當(dāng)它的所有Jordan塊都是1階時，A矩陣可對角化。當(dāng)且僅當(dāng)至少有一個Jordan塊的階數(shù)大于等于2時，A矩陣不可對角化。請見下例：
（1）假設(shè)對角矩陣A為：rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="[]"role="presentation">[]\begin{bmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}
即：A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形由三個Jordan塊組成，且均為1階。這就意味著：Jordan標(biāo)準(zhǔn)形就是一個對角陣。對于特征值2，它的特征向量是rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="(a,0,b)T"role="presentation">(a,0,b)T(a,0,b)^T，a、b可以是任意取值(可以相等，可以不相等，但不能同時為0)，所以特征值2的特征空間為2維
（2）只要出現(xiàn)了階數(shù)大于1的Jordan塊：由一個2階Jordan塊和一個1階Jordan塊組成。在代入相應(yīng)的特征值的時候，就能看到，方程rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="A?2?I"role="presentation">A?2?IA-2*I=0對應(yīng)的基礎(chǔ)解系的個數(shù)，一定會小于Jordan標(biāo)準(zhǔn)形里特征值出現(xiàn)的次數(shù)。
聯(lián)：由此想到，可對角化和不可對角化的矩陣，都能化為Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。其中，Jordan塊的總數(shù)量rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="(m1+m2+...+ms=m)"role="presentation">(m1+m2+...+ms=m)(m_1+m_2+...+m_s=m)，就是所有特征子空間的維數(shù)之和。一般來說，rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="m≤n"role="presentation">m≤nm\len。但是，對于s個特征值中任意一個rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λi"role="presentation">λi\lambda_i來說，每一個的幾何重數(shù)都等于其對應(yīng)的Jordan塊數(shù)目之和。這也和rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="m1+m2+...ms=m"role="presentation">m1+m2+...ms=mm_1+m_2+...m_s=m表示Jordan塊的總數(shù)量，也表示所有特征子空間的維數(shù)之和，是符合的。
對于整個Jordan標(biāo)準(zhǔn)形而言，有這樣的結(jié)論：rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λi"role="presentation">λi\lambda_i的幾何重數(shù)rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="mi"role="presentation">mim_i，等于rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="det(JA?λI)=(λ?λ1)t1...(λ?λi)ti...(λ?λs)ts"role="presentation">det(JA?λI)=(λ?λ1)t1...(λ?λi)ti...(λ?λs)tsdet(J_A-\lambdaI)=(\lambda-\lambda_1)^{t_1}...(\lambda-\lambda_i)^{t_i}...(\lambda-\lambda_s)^{t_s}中的rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="ti"role="presentation">tit_i。即，jordan標(biāo)準(zhǔn)形里，特征值的幾何重數(shù)等于在rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="det(JA?λi)"role="presentation">det(JA?λi)det(J_A-\lambdai)中相應(yīng)因式的次數(shù)。只要特征值rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λi"role="presentation">λi\lambda_i%有一個Jordan塊階數(shù)>1，那么，它的代數(shù)重數(shù)>幾何重數(shù)。如果特征值rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λi"role="presentation">λi\lambda_i的全部rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="mi"role="presentation">mim_i個jordan塊全是階數(shù)=1的，那么特征值rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λi"role="presentation">λi\lambda_i的代數(shù)重數(shù)=幾何重數(shù)。
定理:實對稱矩陣一定可以正交相似對角化
即：實對稱矩陣一定可以對角化，且此過程中，可以利用正交矩陣作為那個可逆矩陣P來對角化。（當(dāng)然，也可以用一般的矩陣）基于這一重要定理的實對稱矩陣正交相似化方法
正是由于引理2的成立，即實對稱矩陣不同特征值對應(yīng)的特征向量是正交的，我們才能夠通過施密特正交化構(gòu)造出正交矩陣，使得實對稱矩陣正交相似于對角矩陣。因此我們得到實對稱矩陣最重要的性質(zhì)，即此處定理：實對稱矩陣一定可以相似對角化，并且相似的對角矩陣為該實對稱矩陣線性無關(guān)的特征向量對應(yīng)的特征值按順序排列在對角矩陣的對角線上，并且還可以通過施密特正交化構(gòu)造正交矩陣進(jìn)行正交相似對角化。
注：實對稱可以用正交矩陣進(jìn)行正交相似對角化，當(dāng)然也可以用普通的矩陣進(jìn)行相似對角化，具體問題應(yīng)當(dāng)具體分析。
證明過程和方法：實對稱矩陣正交相似于對角矩陣
求出實對稱矩陣A的特征多項式rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="|λE?A|"role="presentation">|λE?A||\lambdaE-A|，從而求出其全部的特征值：rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λ1,λ2,...λs"role="presentation">λ1,λ2,...λs\lambda_1,\lambda_2,...\lambda_s依次代入全部的特征值，求出每一個特征值下的特征向量，每個特征值下的特征向量是線性方程組的解：rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="(λiE?A)X=0"role="presentation">(λiE?A)X=0(\lambda_iE-A)X=0求出該方程組的基礎(chǔ)解系，基礎(chǔ)解系就是屬于特征值rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λi"role="presentation">λi\lambda_i的特征向量的坐標(biāo)。再根據(jù)事先指定的原來的一組基和這些坐標(biāo)，可以確定，這個特征子空間的一組基。對于同一個特征值的線性無關(guān)的特征向量：對這組線性無關(guān)的特征向量采用施密特正交化的方法，化成標(biāo)準(zhǔn)正交基（該特征值所對應(yīng)的特征子空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基）
引理2作為依據(jù)，將不同特征值所對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量都正交化以后，它們所構(gòu)成的全部的n個正交化、長度為1的向量，彼此仍然正交。這是因為：實對稱矩陣在不同特征值下的特征向量，是相互正交的。
從而，我們將原來的實對稱矩陣的n個線性無關(guān)的特征向量，化成了一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。也就是說，我們把原來的一組由線性無關(guān)的特征向量組成的矩陣，化成了一組由標(biāo)準(zhǔn)正交基組成的矩陣。注意到，n階方陣為正交矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)：其行向量組（或列向量組）是正交組。因此，此時由標(biāo)準(zhǔn)正交基組成的矩陣就是一個正交矩陣。從而，我們得到了實對稱矩陣的相似對角化表示。注意到：雖然把原來的向量變成了現(xiàn)在的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，但是這個對角矩陣（對角線上是全部特征值）是不變的。