三角形的各個心以及特點(向量表示三角形的各個心)
#education聽我說#一:'三角形的重心'
即使我們不知道重心的數(shù)學(xué)術(shù)語,也沒有關(guān)系。我們這樣想:如果我把手指放在三角板上的某個點上,正好平衡了三角板,那么這個點就是三角形的重心。
上面這段話應(yīng)該很容易理解,那么我們?nèi)绾握业竭@一點呢?此時,我們先把三角形放在一邊。如果我有一根質(zhì)地均勻的木棍,我如何找到木棍的重心?大家都知道,如果我把手指放在棍子的中點,它就會保持平衡。因此,線段的重心就是線段的中心。
圖片
讓我們回到這個三角形。如果我們把這個三角形分成很多細(xì)棍(線段),如下圖所示:
圖片
那么每條線段的重心都在線段的中點上,所以這個三角形的重心一定在所有中點的連線上。也就是說,這個三角形的重心在線段AF上,
圖片
同理,我們知道這個三角形的重心也在另外兩條中線上,所以三角形的重心就是這三條中線的交點。
2:“三角形的外心”
現(xiàn)在我們來研究三角形的外心。顧名思義,三角形的外心是指三角形外接圓的中心。那么,我們?nèi)绾握业饺切蔚耐庑哪??請看下面的圖片:
圖片
三角形的三個頂點A、B、C都在圓O上,所以O(shè)點是三角形ABC的外心。由于AB、BC、AC都是圓O的弦,所以O(shè)點一定在AB的垂直平分線上。(定理:圓上任意弦的垂直平分線一定經(jīng)過圓心)。同理,O點也在BC的垂直平分線上……
因此,三角形的外心就是三角形垂直平分線的交點。
三:“三角之心”
顧名思義,三角形的內(nèi)心是三角形的內(nèi)切圓的中心。那么如何找到內(nèi)心呢?我們先看一下下面這張圖:
圖片
三角形ABC的內(nèi)圓心為O點,三邊的切點為E、F、G。顯然,E、F、G三點都在圓O上。我們連接EO、FO、GO,然后連接AO、BO、CO,如下圖:
圖片
由于E、F、G都在圓O上,所以O(shè)E=OF=OG
又因為E、F、G都是切點,所以O(shè)E垂直于AB,OG垂直于AC,OF垂直于BC。根據(jù)RT三角形全等定理,我們很容易得到三組全等三角形:
圖片
因此,角度關(guān)系如下:
圖片
因此,三角形的心就是三個角平分線的交點。
四:“三角形的垂直中心”
所謂垂直中心就是三個高度的交點。
綜上所述:
三角形的重心是三條中線的交點。
三角形的外心是三個垂直平分線的交點。
三角形的中心是三個角平分線的交點。
三角形的垂直中心是其三個高度的交點。
一般高中涉及到的心就只有這四種。接下來是大事。在高考中,重心的運用是很常見的。
三角形重心的性質(zhì):
1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2:1。
2、重心與三角形任意兩個頂點所圍成的三個三角形的面積相等。即重心到三邊的距離與三邊的長度成反比。
3、重心到三角形三個頂點的距離的平方和最小。
4、在平面直角坐標(biāo)系中,重心坐標(biāo)為頂點坐標(biāo)的算術(shù)平均值,即重心坐標(biāo)為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)。
5、從重心開始到三角形三個頂點的三個向量之和等于零向量。
最常用的是1、4、5,希望大家牢記重心的這三個屬性。