實對稱矩陣知乎(實對稱矩陣有哪些定理)_重復
又名：TOPE和健美操決賽將于明天舉行，但我在這里寫下.
u1s1，有時候寫總結或者看書的時候都會感到不安……就記錄一下今天看到的比較有用的結論吧。8)今天老師講的很多地方都很模糊。TT理解起來很累。
實對稱矩陣
實對稱矩陣的性質
引理1:對稱變換以及實對稱矩陣的特征值一定是實數(shù)
pf:
rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='assume#xA0;A#x03B1;=#x03BB;#x03B1;(1)role='presentation'的共軛表示為假設A=,(1)的共軛\阿爾法是\overline{\alpha}\
rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)數(shù)學='#x03B1;#x00AF;#x2032;'role='presentation'′\overline\alpha的含義：對向量的每一維取共軛數(shù)，然后將列向量轉換為行向量
然后乘以rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='#x03B1;#x00AF;'(1)中的角色='演示'\overline{\alpha}
rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03B1;#x00AF;#x2032;(A#x03B1;)=#'角色='演示'′(A)=′′A=(A′)=(Aˉ)\overline{\alpha}(A\alpha)=\overline{\alpha}A\alpha=(A\overline{\alpha})\alpha=(\overline{A\alpha})\alpha
注意：為什么最后一個等號成立？這是因為A是實對稱矩陣
命題：在復數(shù)領域，a的虛部為0當且僅當a=a的共軛。因此，由于A的各個位置的元素都是實數(shù)，所以取共軛后，仍然等于原來的A。這樣就有：
rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='(A#x03B1;#x00AF;)#x2032;#x03B1;=#x03B1;#x00AF;#x2032;#x03BB;#x03B1;#xA0;for#x03BB;#xA0;is#xA0;a#xA0;數(shù)字，#xA0;所以#xA0;我們#xA0;可以#xA0;改變#xA0;它的#xA0;序列#xA0;然后，#xA0;我們#xA0;得到#xA0;(A#x03B1;#x00AF;)#x2032;#x03B1;=#x03BB;#x03B1;#x00AF;#x2032;#x03B1;#xA0;(#x03BB;#x03B1;#x00AF;)#x2032;#x03B1;=#x03BB;#x03B1;#x00AF;#x2032;#x03B1;#x03BB;#x00AF;#x03B1;#x00AF;#x2032;#x03B1;=#x03BB;#x03B1;#x00AF;#x2032;#x03B1;#xA0;而#xA0;#x03B1;#x00AF;#x2032;#x03B1;=x1#x00AF;x1+x2#x00AF;x2+.+xn#x00AF;xn#xA0;'role='presentation'(A′)=′′′,對于是一個數(shù)字，所以我們可以改變它的順序，那么，wegot(A′)=′′(′)′=′′′,′′′=而=x1x1+x2x2+.+xnxn(\overline{A\alpha})\alpha={\overline\alpha}\lambda\alpha,\\\因為\lambda\是\一個\數(shù)字，\所以\我們\可以\改變\其\序列\(zhòng)\\那么，\我們\得到\(\overline{A\alpha})\alpha=\lambda\overline{\alpha}\alpha\\\(\overline{\lambda\alpha})\alpha=\lambda\overline{\alpha}\alpha,\\\overline{\lambda}\overline{\alpha}\alpha=\lambda\overline{\alpha}\alpha\\\while\\overline{\alpha}\alpha=\overline{x_1}{x_1}+\overline{x_2}{x_2}+.+\overline{x_n}x_n\\\
由于之前提到的一個結論：rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='根據(jù)#xA0;to:#xA0;aa#x00AF;#x2208;R,#x2200;a#x2208;C'角色='演示'根據(jù)：aR,aC\\根據(jù)\to:\a\overline{a}\inR,\foralla\inC\\
又因為這里是一個特征向量：0，\\\我們\可以\得出\that:\overline{\lambda}-\lambda=0.\\\\所以，\lambda\in\R'rame'tabindex='0'樣式='字體大?。?00%;display:內聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='and#xA0;#x03B1;#x2260;0(因為#xA0;#x03B1;#xA0;是#xA0;a#xA0;特征向量)#xA0;因此，#xA0;來自#xA0;(#x03BB;#x00AF;#xA0;#x2212;#x03BB;)(#x03B1;#x00AF;#x03B1;)=0,和#xA0;#x03B1;#x00AF;#x03B1;gt;0,#xA0;我們#xA0;可以#xA0;結論#xA0;that:#x03BB;#x00AF;#x2212;#x03BB;=0.#xA0;#xA0;所以，#x03BB;#x2208;#xA0;R'角色='表示'且0（因為是特征向量），因此，由(′)(′)=0，且′0，我們可以得出：′′=0。所以，Rand\\alpha\ne0(因為\\alpha\是\a\特征向量)\\\因此，\from\(\overline{\lambda}\-\lambda)(\overline{\alpha}\alpha)=0,\\且\\overline{\alpha}\alpha0,\\\我們\可以\得出結論\:\overline{\lambda}-\lambda=0。\\\\所以，\lambda\in\R
小結：
列向量轉置的目的
(1)轉位、改變運算順序方便。行向量*列向量=數(shù)字。數(shù)字作為一個整體可以任意調換。同時數(shù)字整體在運算時還可以改變乘法的順序==
(2)對于特殊的向量轉置和乘法，可以確定相應元素的符號。==
例如：根據(jù)已知定理，復數(shù)范圍內rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03B1;#x2217;#x03B1;#x00AF;=||#x03B1;||2'角色='演示'*=||||2\alpha*\overline{\}=||\||^2。即：將復數(shù)與其自身的共軛相乘，得到其自身模的平方（a^2+b^2）。
從這一點我們可以得到一個推論：n維向量rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='#x03B7;#xFF0C;'role='presentation',eta,\eta,ifknownrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03B7;#x2260;0,'role='presentation'0,\eta\ne0,則：0.'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='#x03B7;#x03B7;#x00AF;gt;0。'角色='演示'\eta\overline{\eta}0.\eta\overline{\eta}0.并且，rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03B7;#x03B7;#x00AF;=0'角色='演示'=0\eta\overline{\eta}=0當且僅當rame'tabindex='0'style='字體大?。?00%；display:內聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03B7;=0'角色='演示'=0\eta=0
引理2:對稱變換及實對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量，相互正交
請注意，對稱變換和實對稱矩陣之間的聯(lián)系是通過正交基建立的：一組正交基下的對稱變換矩陣是實對稱矩陣。因此，我們只需證明實對稱矩陣對應的對稱變換的不同特征值的特征向量彼此正交即可。
pf:(求兩邊的內積)(\alpha,\beta)=0'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='假設#xA0;#x03BC;#x2260;#xA0;#x03BB;#xA0;#x03B1;=#x03BC;#x03B1;#xA0;#xA0;#x03B2;=#x03BB;#x03B2;#xA0;(#x03B1;#x03B2;)=(#x03BC;#x03B1;#x03B2;)=#x03BC;(#x03B1;#x03B2;)#xA0;對于#xA0;#xA0;是#xA0;對稱#xA0;變換#xA0;然后#xA0;(#x03B1;#x03B2;)=(#x03B1;#x03B2;)=(#x03B1;#x03BB;#x03B2;)=#x03BB;(#x03B1;#x03B2;)#xA0;所以，#xA0;#x03BC;(#x03B1;#x03B2;)=#x03BB;(#x03B1;#x03B2;)#xA0;for#xA0;#x03BC;#x2260;#x03BB;#xA0;so#xA0;(#x03BC;#x2212;#x03BB;)(#x03B1;#x03B2;)=0=gt;(#x03B1;#x03B2;)=0'role='presentation'假設==(,)=(,)=(.)進行對稱變換則(,)=(,)=(,)=(,)so,(,)=(,)forso()(,)=0=(,)=0假設\\mu\ne\\lambda\\\\alpha=\mu\alpha\\\\\beta=\lambda\beta\\\(\alpha,\beta)=(\mu\alpha,\beta)=\mu(\alpha.\beta)\\\為\\是\對稱\變換\\\則\(\alpha,\beta)=(\alpha,\beta)=(\alpha,\lambda\beta)=\lambda(\alpha,\beta)\\\so,\\mu(\alpha,\beta)=\lambda(\alpha,\beta)\\largefor\\mu\ne\lambda\\\so\(\mu-\lambda)(\alpha,\beta)=0=(\alpha,\beta)=0
引理3:若V的子空間rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="V1"role="presentation"V1V_1是-子空間，則rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="V1"role="presentation"V1V_1的正交補rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="V1#x22A5;"role="presentation"V1V_1^{\bot}也是-子空間
引理4:n階實對稱矩陣一定有n個線性無關的特征向量
當實對稱矩陣有n個不同的特征值時，顯然有n個線性無關的特征向量。然而，當實數(shù)對稱矩陣有s個特征值時，s個實數(shù)對稱矩陣的特征值的幾何重數(shù)等于代數(shù)重數(shù)。**
連接：矩陣進行對角化的充要條件：
(1)特征多項式的所有根都屬于這個數(shù)域P
(2)對于特征多項式中的每個特征值，幾何重數(shù)等于代數(shù)重數(shù)。自然地，實對稱矩陣必須是可對角化的，這相當于實對稱矩陣的特征值必須是實數(shù)，并且對于每個實對稱矩陣特征值rame'tabindex='0'style='字體大?。?00%；display:內聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03BB;i'role='presentation'i\lambda_iall有rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03BB;i'role='presentation'i\lambda_i對應特征子空間rame的維度'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='dim(V#x03BB;i)'role='presentation'dim(Vi)dim(V_{\lambda_i})等于rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'特征多項式中的data-mathml='(#x03BB;#x2212;#x03BB;i)ti'role='presentation'(i)ti(\lambda-\lambda_i)^{t_i}次。事實上，代數(shù)重數(shù)等于rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='dim(V#x03BB;i)=dim(N#xA0;(A#x2212;#x03BB;iI)#xA0;)'角色='演示'dim(Vi)=dim(N(AiI))dim(V_{\lambda_i})=dim(N\(A-\lambda_iI)\)即線性方程組基本解系所包含的向量個數(shù)。
注意：引理4并不意味著實數(shù)對稱矩陣的相同特征值對應的特征向量是線性無關的。顯然情況不一定如此。從“n階實對稱矩陣必須有n個線性無關的特征向量”不能推導出“具有相同特征值的特征向量是線性無關的”。引理4只能解釋：實對稱矩陣對應的對角矩陣中是否存在重復的特征值。那么，這些特征值重復出現(xiàn)的次數(shù)必須等于其對應的特征子空間的維數(shù)。換句話說，在這些特征值對應的特征子空間中，基是由與重復次數(shù)對應的向量組成的。
PF：我還沒有看到任何更容易理解的東西。但可以從其對應的對角矩陣來理解。因為對于對角矩陣A，方程rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='(#x03BB;iE#x2212;A)X=0'角色='演示'(iEA)X=0(\lamb
da_iE-A)X=0的基礎解系的向量個數(shù)是顯然的。從方程組的角度來看幾何重數(shù)和代數(shù)重數(shù)往往比較直觀。因為，對于對角矩陣或者Jordan標準形來說，幾何重數(shù)就是rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="(λiE?A)X=0"role="presentation">(λiE?A)X=0(\lambda_iE-A)X=0的解空間的維數(shù)；代數(shù)重數(shù)就是在對角線中rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λi"role="presentation">λi\lambda_i出現(xiàn)的次數(shù)。這也就解釋了，對于Jordan標準形rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="JA"role="presentation">JAJ_A來說，當且僅當它的所有Jordan塊都是1階時，A矩陣可對角化。當且僅當至少有一個Jordan塊的階數(shù)大于等于2時，A矩陣不可對角化。請見下例：
基于這一重要定理的實對稱矩陣正交相似化方法
正是由于引理2的成立，即實對稱矩陣不同特征值對應的特征向量是正交的，我們才能夠通過施密特正交化構造出正交矩陣，使得實對稱矩陣正交相似于對角矩陣。因此我們得到實對稱矩陣最重要的性質，即此處定理：實對稱矩陣一定可以相似對角化，并且相似的對角矩陣為該實對稱矩陣線性無關的特征向量對應的特征值按順序排列在對角矩陣的對角線上，并且還可以通過施密特正交化構造正交矩陣進行正交相似對角化。
注：實對稱可以用正交矩陣進行正交相似對角化，當然也可以用普通的矩陣進行相似對角化，具體問題應當具體分析。
證明過程和方法：實對稱矩陣正交相似于對角矩陣
求出實對稱矩陣A的特征多項式rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="|λE?A|"role="presentation">|λE?A||\lambdaE-A|，從而求出其全部的特征值：rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λ1,λ2,...λs"role="presentation">λ1,λ2,...λs\lambda_1,\lambda_2,...\lambda_s依次代入全部的特征值，求出每一個特征值下的特征向量，每個特征值下的特征向量是線性方程組的解：rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="(λiE?A)X=0"role="presentation">(λiE?A)X=0(\lambda_iE-A)X=0求出該方程組的基礎解系，基礎解系就是屬于特征值rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λi"role="presentation">λi\lambda_i的特征向量的坐標。再根據(jù)事先指定的原來的一組基和這些坐標，可以確定，這個特征子空間的一組基。對于同一個特征值的線性無關的特征向量：對這組線性無關的特征向量采用施密特正交化的方法，化成標準正交基（該特征值所對應的特征子空間的標準正交基）
引理2作為依據(jù)，將不同特征值所對應的線性無關的特征向量都正交化以后，它們所構成的全部的n個正交化、長度為1的向量，彼此仍然正交。這是因為：實對稱矩陣在不同特征值下的特征向量，是相互正交的。
從而，我們將原來的實對稱矩陣的n個線性無關的特征向量，化成了一組標準正交基。也就是說，我們把原來的一組由線性無關的特征向量組成的矩陣，化成了一組由標準正交基組成的矩陣。注意到，n階方陣為正交矩陣，當且僅當：其行向量組（或列向量組）是正交組。因此，此時由標準正交基組成的矩陣就是一個正交矩陣。從而，我們得到了實對稱矩陣的相似對角化表示。注意到：雖然把原來的向量變成了現(xiàn)在的一組標準正交基，但是這個對角矩陣（對角線上是全部特征值）是不變的。