壓縮數(shù)列怎么判斷(怎么證明壓縮數(shù)列收斂)

學(xué)過(guò)高等數(shù)學(xué)或者考研的同學(xué)一定知道，證明數(shù)列的收斂性是一個(gè)比較困難的問(wèn)題。在高等數(shù)學(xué)范圍內(nèi)，證明數(shù)列收斂的方法只有兩種：一是箍縮定理，二是單調(diào)有界定理。這兩種方法都很難使用。要使用箍縮定理，您需要找到一大一小兩個(gè)數(shù)值序列，并且它們必須具有相同的極限。使用單調(diào)有界定理，不僅需要證明單調(diào)性，還需要證明它是有界的，并且兩者必須匹配：如果是單調(diào)遞增，則需要證明存在上界；如果是單調(diào)遞減，則需要證明存在下界。無(wú)論哪種情況，都很難使用。如果是大題目，把證明步驟詳細(xì)寫下來(lái)比較劃算。但是，如果遇到選擇題或者填空題，即使是一個(gè)小題，也要花很長(zhǎng)時(shí)間才能判斷數(shù)字序列是否收斂，從時(shí)間上來(lái)說(shuō)，這是不值得的。

那么，今天我給大家介紹一種非?？焖俚呐袛嘈蛄惺欠袷諗康姆椒ǎ覀兎Q之為壓縮序列法。

1.什么是壓縮數(shù)列？

壓縮序列的定義如下：

從這個(gè)定義也可以看出，“壓縮”的含義是指每?jī)身?xiàng)之間的差異逐漸縮小并小于一個(gè)比例常數(shù)。當(dāng)然，我們也要求這個(gè)比例常數(shù)小于1。

2.壓縮數(shù)列與收斂性有什么關(guān)系？

我們的結(jié)論是：

定理：壓縮數(shù)列一定收斂。

讓我們使用比較辨別和絕對(duì)收斂來(lái)證明這個(gè)定義。

好了，以上就是定理的證明過(guò)程。有了這個(gè)定理之后，在做選擇題和填空題的時(shí)候，如果你能發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)壓縮序列，那么我就知道它一定是收斂的，這樣可以節(jié)省很多時(shí)間。

3.應(yīng)用舉例

首先我們看一個(gè)考研中很常見的題：

在標(biāo)準(zhǔn)答案中，只能使用單調(diào)有界定理：

使用這種方法的證明過(guò)程非常繁瑣，需要兩次數(shù)學(xué)歸納。而且，如果嚴(yán)格評(píng)判試卷，哪怕某一步驟有漏洞、有遺漏，也拿不到滿分。

那么我們用本文介紹的壓縮序列方法來(lái)證明：

可見，使用壓縮序列方法的證明非常簡(jiǎn)單，只需要一步即可完成?？梢则?yàn)證，在很多情況下，壓縮序列方法是一種非?？焖俚呐袛嘈蛄惺諗啃缘姆椒āＳ信d趣的同學(xué)可以找到更多考研題來(lái)嘗試。

但這種方法并不屬于考研大綱范圍，所以考研時(shí)大證明題不允許使用這種方法。但對(duì)于選擇題和填空題來(lái)說(shuō)，這是一個(gè)節(jié)省時(shí)間的好方法。

4.歷史背景

看完上面的例子，很多同學(xué)可能會(huì)非常驚訝，竟然有這么簡(jiǎn)單快速的方法。但事實(shí)上，這種方法只是一個(gè)更高級(jí)定理的基本形式。這個(gè)更高級(jí)的定理就是歷史上著名的——巴納赫不動(dòng)點(diǎn)定理。

巴納赫不動(dòng)點(diǎn)定理，也稱為壓縮映射原理，其全文描述如下：

當(dāng)然，理解這個(gè)定理需要學(xué)習(xí)更高等的數(shù)學(xué)，這超出了本文的范圍。

壓縮映射原理是泛函分析學(xué)科中一個(gè)非常重要的定理。它是由波蘭數(shù)學(xué)家巴納赫于1922年提出的，他本人也是泛函分析學(xué)科的重要?jiǎng)?chuàng)始人之一。一。

巴納赫1892年出生于波蘭克拉科夫，自幼熱愛(ài)數(shù)學(xué)，但命運(yùn)卻頗為坎坷。由于家庭背景和第一次世界大戰(zhàn)的原因，他沒(méi)有接受過(guò)完整、系統(tǒng)的專業(yè)數(shù)學(xué)訓(xùn)練。不過(guò)，憑借他的毅力，他通過(guò)自學(xué)獲得了大量的數(shù)學(xué)知識(shí)，并結(jié)識(shí)了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界的許多前輩。1917年，巴納赫的第一篇論文發(fā)表于《克拉科夫科學(xué)院會(huì)報(bào)》，這使他于1920年在利沃夫理工學(xué)院獲得助教職位，從此開始了他的數(shù)學(xué)生涯。

巴納赫于1922年提出巴納赫不動(dòng)點(diǎn)定理，并于1927年晉升教授。他引入了線性賦范空間的概念，成為泛函分析的基本概念，并證明了泛函分析中的三大定理：泛函連續(xù)定理、共振定理和閉像定理。他的名著《線性算子理論》是泛函分析發(fā)展史上的一個(gè)里程碑，它的出版標(biāo)志著這門學(xué)科的正式誕生。他本人也成為泛函分析領(lǐng)域的世界權(quán)威。

1939年巴納赫當(dāng)選為波蘭數(shù)學(xué)會(huì)主席，但不幸的是第二次世界大戰(zhàn)爆發(fā)，波蘭被德軍占領(lǐng)。巴納赫于1945年在更糟糕的情況下去世。

他不僅是一位杰出的數(shù)學(xué)家，也是一位杰出的數(shù)學(xué)教育家。他培養(yǎng)了大批年輕人，組建了強(qiáng)大的利沃夫泛函分析學(xué)派，為世界數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了杰出貢獻(xiàn)。

泛函分析是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支。它主要采用解析方法研究各種函數(shù)空間，包括Banach空間和Hilbert空間，以及空間上的算子理論。

泛函分析廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)的其他分支，如積分方程和微分方程，在物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域，特別是宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中發(fā)揮著非常重要的作用。宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中研究消費(fèi)者長(zhǎng)期選擇行為的拉姆齊模型和變分法的來(lái)源是泛函分析。

不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題也是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要研究問(wèn)題。所謂某個(gè)函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，是指其原像與圖像一致的點(diǎn)，即滿足f(x)=x的點(diǎn)。當(dāng)然，數(shù)學(xué)家的研究問(wèn)題遠(yuǎn)比這復(fù)雜，并且產(chǎn)生了三項(xiàng)重要的研究成果。其中之一就是本文介紹的度量空間上的巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理。它在證明微分方程解的存在性方面起著極其重要的作用。

此外，拓?fù)漕I(lǐng)域還有布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理。應(yīng)用這個(gè)定理可以證明很多非常有趣的事情。例如，網(wǎng)上經(jīng)常流傳一個(gè)著名的數(shù)學(xué)問(wèn)題：如果拿一張當(dāng)?shù)氐牡貓D，把它放在地上，地圖上總會(huì)有一個(gè)點(diǎn)與該點(diǎn)所代表的實(shí)際點(diǎn)重合。

第三個(gè)是集值映射領(lǐng)域的角谷不動(dòng)點(diǎn)定理，它在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域有非常重要的應(yīng)用，是研究一般均衡理論的重要工具。

5.總結(jié)

本文從一道簡(jiǎn)單的考研題開始，引出了數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，——泛函分析。目的是向大家展示數(shù)學(xué)的探索是永無(wú)止境的。每每想到這里，屈原的話就會(huì)在作者耳邊回響：路漫漫其修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索！