巧妙求函數(shù)最值公式(巧妙求函數(shù)最值例題)
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這是2022年高考數(shù)學全國文科卷子A最后的填空題。這是一個求解三角形的問題,但其核心步驟是找到函數(shù)的最大值。需要對其進行變形,利用一致不等式來更巧妙地解決問題。
已知ABC中,點D在邊BC上,ADB=120度,AD=2,CD=2BD.當AC/AB取最小值時,BD=______.
請您親自嘗試一下!
分析:首先畫一張草圖,這對解決問題會有很大的幫助。否則,就像人的眼睛被蒙住了一樣,就像一只無頭蒼蠅不知道飛向哪里,除非你有一個超級大腦,可以在頭腦中構(gòu)建圖形并分析圖形和問題。反正老黃是做不到的。
這張圖一點也不復雜。解決問題的突破口在于余弦公式的應用。在三角形ABD中,表達了角ADB的余弦公式。角ADB的大小為120度,對邊為AB,從而得到:
AB^2=BD^2+AD^2-2BD·AD·cos120度=BD^2+2BD+4;
在三角形ACD中,還表達了角度ADC的余弦公式。因為角度ADC和角度ADB是互補角,角度ADC等于60度,對邊為AC,所以有:
AC^2=CD^2+AD^2-2CD·AD·cos60度=4BD^2-4BD+4.
比較兩個余弦公式,我們有:
(AC/AB)^2=(4BD^2-4BD+4)/(BD^2+2BD+4)=4-(12(BD+1))/(BD+1)^2+3).
(AC/AB)^2可以看成是一個關(guān)于BD的函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最優(yōu)值的問題。因為當(AC/AB)^2最小時,AC/AB也最小。但我們想要的并不是這個最小值,而是得到最小值時BD的值。
尋找這個函數(shù)最優(yōu)值的方法有很多,但黃認為使用均值不等式相對簡單。但平均不等式不能直接應用。因此,函數(shù)的分數(shù)作為減數(shù)必須采用倒數(shù)的形式?,F(xiàn)在:
記M=((BD+1)^2+3)/(BD+1)=BD+1+3/(BD+1).
只要M最小,那么M的倒數(shù)就最大,即原函數(shù)作為減數(shù)部分的分數(shù)最大,原函數(shù)最小。顯然M的表達可以使用均值不等式。
當BD+1=3/(BD+1)時,M最小.AC/AB最小.
這時我們只需要求出BD的值即可。這是關(guān)于BD的分數(shù)階方程,可以解為BD=3-1.具體解方程的過程,請自行腦補。
那么你完成了嗎?解決辦法和老黃的一樣嗎?
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