數(shù)學平行垂直定理(初中平行與垂直)
《平行垂直》中你不可忽視的知識點
一、知識梳理
1、平行線的定義：
不在同一平面內(nèi)相交的兩條直線稱為平行線。
2、平行的表示：
用符號“”表示，發(fā)音為“平行于”。
3、同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系：
平行或相交。
4、平行公理：
通過直線外一點，存在且只有一條與已知直線平行的直線。
5、平行的傳遞性：
與同一條直線平行的兩條直線平行。
6、平行與角的聯(lián)系：
如果一個角的兩條邊與另一個角的兩條邊平行，則這兩個角相等或互補。
7、垂直定義：
如果兩條直線所成的四個角中有一個是直角，則這兩條直線互相垂直。
其中一條直線稱為另一條直線的垂線。它們的交點稱為垂直腳。
兩條線段和射線垂直是指這兩條線段和射線所在的直線互相垂直。
8、垂直的表示：
用符號“”表示，發(fā)音為“垂直于”。
9、垂直公理：
存在且僅有一條與通過一點的已知直線垂直的直線。
10、點到直線的距離：
從直線外一點到直線的垂直線段的長度。
11、垂線段的性質(zhì)：
連接直線外一點和直線上各點的所有線段中，垂直線段最短。
12、垂直與角的聯(lián)系：
如果一個角的兩條邊垂直于另一個角的兩條邊，則這兩個角相等或互補。
二、典型例題
示例1.概念分析
(1)兩條不相交的直線稱為平行線。
(2)兩條直線不相交則平行。
(3)兩條射線或線段平行，是指它們所在的直線平行。
(4)不在同一平面內(nèi)相交的兩條線段必須平行。
(5)過一點，存在且只有一條與已知直線平行的直線。
(6)同一平面內(nèi)與同一條直線垂直的兩條直線互相平行。
(7)A點為直線l外的點，B點為直線l上的點。若AB=5cm，則A點到直線l的距離為5cm。
解析：
(1)錯誤，必須在同一平面內(nèi)相加，否則在立體幾何中，會出現(xiàn)平面外的情況。例如，對于正方體，上邊緣與正面相交、右邊緣與背面相交的直線既不平行也不相交。
分析：
要求垂直線段，首先要找到所有的垂直腳，因為垂直線段就是直線以外的點到垂直腳的距離。這里的垂直腳顯然只有P和H，所以O點和C點可以與P點和H點構(gòu)成垂直線段。
為了將垂直線段的長度解釋為從哪一點到哪條直線的距離，必須選擇垂直線段的兩個端點之間的不是垂直腳的點到垂直于另一條直線的距離。垂直線段所在的垂直線段。
解答：
(1)OP，OP的長度是點O到直線PC的距離。
CP，CP的長度是點C到直線OB的距離。
OH，OH的長度是點O到直線PH的距離。
CH，CH的長度是點C到直線PH的距離。
PH，PH的長度是點P到直線OC的距離。
(2)PHPCOC。
三、思維提升
示例3.思考類作圖
已知同一平面內(nèi)線段AB的長度為10cm，則A點和B點到直線l的距離分別為6cm和4cm。滿足條件的直線有多少條？
分析：
顯然，學生都能想到畫線段AB的垂線，并將線段AB分成6cm和4cm兩部分。但實際上，線段AB兩側(cè)有兩個圓，以A和B為圓心，半徑分別為6cm和4cm。當畫出的直線與兩個圓只有一個交點時，也符合題意。這樣的直線有兩條，即總共有三條。
到了初三，我們就會知道這三條線就是畫的兩個圓的切線。
解答：
如圖，紅色的三條直線就是你想要的。
變體
如圖所示，在平面中，兩條直線l1和l2相交于點O。對于平面中的任意點M，如果p和q分別是點M到直線l1和l2的距離，則(p,q)稱為點M的“距離坐標”。根據(jù)上述規(guī)定，有________個點，其“距離坐標”為(2,1)。
分析：
我們可以先找到線，再確定點。首先找到距離l1距離為2的直線和距離12距離為1的直線。顯然，它們的交點就滿足了題意。
畫完圖不難發(fā)現(xiàn)，有2條距離l1距離為2的直線和2條距離12距離為1的直線。這4條直線相互相交，有4個交點。這4個交點就是‘距離坐標’，就是(2,1)的點。
解答：
如圖所示，距離l1距離為2的直線是兩條藍色直線，距離12距離為1的直線是兩條紅色直線。這四個交點就是所尋求的。