特征值特征向量的求法匯總(特征值與特征向量視頻講解)
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公眾號：渡口考研工作室科目：數(shù)學知識點：求并證明特征值和特征向量公眾號：渡口考研工作室渡口提供最優(yōu)質(zhì)的課程和資料，提供經(jīng)濟學和數(shù)學同步輔導。完整內(nèi)容在：010-
1.如何求已知元素的矩陣的特征值
示例[1037]求矩陣rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='A=[]'role='presentation'A=[]A=\left[\begin{array}{lll}123\\213\\的特征值和特征向量336\end{數(shù)組}\right]。
解決方案：(1)是找到rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='A'role='presentation'A\boldsymbol{A}的特征值，改變rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)數(shù)學='|#x03BB;E#x2212;A|'角色='演示'|EA||\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|分解為rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='#x03BB;'role='presentation'\lambda線性因子的乘積，為此目的ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)數(shù)學='|#x03BB;E#x2212;A|'角色='演示'|EA||\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|='演示'\lambda線性因子：
rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)數(shù)學='|#x03BB;E#x2212;A|=|#x03BB;#x2212;1#x2212;2#x2212;3#x2212;2#x03BB;#x2212;1#x2212;3#x2212;3#x2212;3#x03BB;#x2212;6|=|#x03BB;+1#x2212;2#x2212;3#x2212;#x03BB;#x2212;1#x03BB;#x2212;1#x2212;30#x2212;3#x03BB;#x2212;6|=(#x03BB;+1)|1#x2212;2#x2212;3#x2212;1#x03BB;#x2212;1#x2212;30#x2212;3#x03BB;#x2212;6|=|1#x2212;2#x2212;30#x03BB;#x2212;3#x2212;60#x2212;3#x03BB;#x2212;6|=(#x03BB;+1)[(#x03BB;#x2212;3)(#x03BB;#x2212;6)#x2212;18]=(#x03BB;+1)(#x03BB;#x2212;9)#x03BB;'角色='演示'|EA|=||=|+|=(+1)||=||=(+1)[(3)(6)18]=(+1)(9)\begin{數(shù)組}{r}|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda-1-2-3\\-2\lambda-1-3\\-3-3\lambda-6\end{數(shù)組}\right|=\left|\begin{數(shù)組}{ccc}\lambda+1-2-3\\-\lambda-1\lambda-1-3\\0-3\lambda-6\end{數(shù)組}\right|\\=(\lambda+1)\left|\begin{array}{ccc}1-2-3\\-1\lambda-1-3\\0-3\lambda-6\end{array}\右|=\左|\開始{數(shù)組}{ccc}1-2-3\\0\lambda-3-6\\0-3\lambda-6\end{數(shù)組}\右|=(\lambda+1)[(\lambda-3)(\lambda-6)-18]=(\lambda+1)(\lambda-9)\lambda\end{array}\\rame'tabindex='0'style='字體大?。?00%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)數(shù)學='#xA0;#x6545;#xA0;A#xA0;#x7684;#x4E09;#x4E2A;#x7279;#x5F81;#x503C;#x4E3A;#xA0;#x03BB;1=#x2212;1,#x03BB;2=0,#x03BB;3=9.#xA0;'role='presentation'因此，A的三個特征值是1=1,2=0,3=9。\text{因此}\boldsymbol{A}\text{的三個特征值是}\lambda_{1}=-1，\lambda_{2}=0，\lambda_{3}=9\text{.}\\
(2)求rame'tabindex='0'style='font-size:100%時的特征值對應(yīng)的特征向量；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03BB;1=#x2212;1'role='presentation'1=1\lambda_{1}=-1，對應(yīng)齊次線性方程組rame'tabindex='0'style='字體大小：100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='(A#x2212;#x03BB;E)X=(A+E)X=0'角色='演示'(AE)X=(A+E)X=0(\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E})\boldsymbol{X}=(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})\boldsymbol{X}=\mathbf{0}，現(xiàn)在
rame'tabindex='0'data-mathml='[][x1x2x3]=[000]'角色='演示'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'[][x1x2x3]=[000]\left[\begin{array}{lll}223\\223\\337\end{array}\right]\left[\開始{數(shù)組}{l}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\結(jié)束{數(shù)組}\right]=\left[\開始{數(shù)組}{l}0\\0\\0\end{數(shù)組}\right]\\
所以
rame'tabindex='0'data-mathml='A+E=[]#x2192;[113/]=B'角色='演示文稿'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'A+E=[][113/]=B\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}=\left[\begin{array}{l}223\\223\\337\end{array}\right]\rightarrow\left[\begin{array}{ccc}113/2\\001\\000\end{array}\right]=\boldsymbol{B}\\
所以rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='r='角色='演示'r=r=排名rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='(A+E)=2,n#x2212;r=3#x2212;2=1'角色='演示'(A+E)=2,nr=32=1(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})=2,n-r=3-2=1其基本解系統(tǒng)僅包含一個線性無關(guān)的解向量。與方程組(1)有相同解的方程組為rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='x1+x2+(3/2)x3=0'角色='演示'x1+x2+(3/2)x3=0x_{1}+x_{2}+(3/2)x_{3}=0,取rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='x2,x3'role='presentation'x2,x3x_{2},x_{3}為自變量，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='x1'role='presentation'x1x_{1}是一個自由變量，并采用rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='x1=#x2212;1,x3=0'role='presentation'x1=1,x3=0x_{1}=-1,x_{3}=0，代入上式得到rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='x2=1'role='presentation'x2=1x_{2}=1，所以它的基本解是rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03B1;1=[x1,x2,x3]T='角色='演示'1=[x1,x2,x3]T=\alpha_{1}=\left[x_{1},x_{2},x_{3}\right]^{T}=rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='[#x2212;1,1,0]T'角色='演示'[1,1,0]T[-1,1,0]^{T}，或rame'tabindex='0'樣式='字體大小：100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='B'role='presentation'B\boldsymbol{B}轉(zhuǎn)換為包含最高階單位矩陣的矩陣，我們得到
rame'tabindex='0'data-mathml='A+E#x2192;B#x2192;[]'角色='演示'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'A+EB[]\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}\rightarrow\boldsymbol{B}\rightarrow\left[\begin{array}{lll}110\\001\\000\end{數(shù)組}\right]\\
由于第1列和第3列取的是高階單位矩陣，所以它的基本解是rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03B1;1=[#x2212;1,1,0]T'角色='演示'1=[1,1,0]T\boldsymbol{\alpha}_{1}=[-1,1,0]^{\mathrm{T}}，所以函數(shù)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03BB;1=#x2212;1'角色='演示'1=1\lambda_{1}=-1rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='A'role='presentation'A\boldsymbol{A}所有特征向量都是隨機的'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='k1#x03B1;1'角色='演示'k11k_{1}\alpha_{1}(rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；position:相對；color:green;'data-mathml='k1#x2260;0'role='presentation'k10k_{1}\neq0是任何常數(shù)）。
當rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03BB;2=0'role='presentation'2=0\當lambda_{2}=0時，求解方程ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='AX=0'role='presentation'AX=0\boldsymbol{AX}=\mathbf{0}，求其基本解系。從
rame'tabindex='0'data-mathml='A=[]#x2192;[1230#x2212;3#x2212;30#x2212;3#x2212;3]#x2192;[]#x2192;[]'角色='演示文稿'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'A=[][][][]\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}123\\213\\336\end{數(shù)組}\right]\rightarrow\left[\begin{數(shù)組}{ccc}123\\0-3-3\\0-3-3\end{數(shù)組}\right]\rightarrow\left[\begin{array}{lll}123\\011\\000\end{array}\right]\rightarrow\left[\begin{array}{ccc}101\\011\\000\end{數(shù)組}\right]\\
而求基本解系的簡單方法是，基本解系為rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='#x03B1;2=[#x2212;1,#x2212;1,1]T'角色='演示'2=[1,1,1]T\boldsymbol{\alpha}_{2}=[-1,-1,1]^{\mathrm{T}}，則屬于rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03BB;2=0'角色='演示'2=0\lambda_{2}=0rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='A'角色='演示文稿'A\bold
symbol{A}的全部特征向量為rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="k2α2(k2≠0"role="presentation">k2α2(k2≠0k_{2}\alpha_{2}\left(k_{2}\neq0\right.為任意常數(shù)rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml=")"role="presentation">)).
當rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λ3=9"role="presentation">λ3=9\lambda_{3}=9時,解方程組rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="(A?9E)X=0"role="presentation">(A?9E)X=0(\boldsymbol{A}-9\boldsymbol{E})\boldsymbol{X}=\mathbf{0},求其基礎(chǔ)解系.由
rame"tabindex="0"data-mathml="A?9E=[?8232?8333?3]→[?5505?50?1?11]→[1?100?]"role="presentation"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;">A?9E=[?8232?8333?3]→[?5505?50?1?11]→[1?100?]\boldsymbol{A}-9\boldsymbol{E}=\left[\begin{array}{ccc}-8&2&3\\2&-8&3\\3&3&-3\end{array}\right]\rightarrow\left[\begin{array}{ccc}-5&5&0\\5&-5&0\\-1&-1&1\end{array}\right]\rightarrow\left[\begin{array}{ccc}1&-1&0\\0&-2&1\\0&0&0\end{array}\right]\\
及基礎(chǔ)解系的簡便求法即得基礎(chǔ)解系為rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="α3=[1,1,2]T"role="presentation">α3=[1,1,2]T\alpha_{3}=[1,1,2]^{T}.故屬于rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λ3=9"role="presentation">λ3=9\lambda_{3}=9的rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="A"role="presentation">AA的全部特征向量為rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="k3α3(k3≠0"role="presentation">k3α3(k3≠0k_{3}\alpha_{3}\left(k_{3}\neq0\right.為任意常數(shù))
2.抽象矩陣的特征值
例【1043】設(shè)rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λ≠0"role="presentation">λ≠0\lambda\neq0是rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="m"role="presentation">mm階矩陣rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="Am×nBn×m"role="presentation">Am×nBn×mA_{m\timesn}B_{n\timesm}的特征值,證明rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λ"role="presentation">λ\lambda也是rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="n"role="presentation">nn階矩陣rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="BA"role="presentation">BABA的特征值
證:利用特征值的定義證明.設(shè)rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λ"role="presentation">λ\lambda為矩陣rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="AB"role="presentation">ABAB的任一非零特征值,rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="α"role="presentation">α\alpha是對應(yīng)于它的特征向量,即
rame"tabindex="0"data-mathml="ABα=λα?(1)?"role="presentation"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;">ABα=λα(1)\boldsymbol{AB}\boldsymbol{\alpha}=\lambda\boldsymbol{\alpha}\text{(1)}\\
為在式(1)左邊出現(xiàn)矩陣rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="BA"role="presentation">BABA,用rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="B"role="presentation">BB左乘式(1)兩邊,得到
rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="B(ABα)=B(λα),即?(BA)(Bα)=λ(Bα)"role="presentation">即B(ABα)=B(λα),即(BA)(Bα)=λ(Bα)\boldsymbol{B}(\boldsymbol{AB}\boldsymbol{\alpha})=\boldsymbol{B}(\lambda\boldsymbol{\alpha})\text{,即}(\boldsymbol{B}\boldsymbol{A})(\boldsymbol{B}\boldsymbol{\alpha})=\lambda(\boldsymbol{B}\boldsymbol{\alpha})\\
如能證rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="Bα≠0"role="presentation">Bα≠0\boldsymbol{B}\boldsymbol{\alpha}\neq\mathbf{0},則由上式即得rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λ"role="presentation">λ\lambda為rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="BA"role="presentation">BA\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}的特征值事實上,如rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="Bα=0"role="presentation">Bα=0B\alpha=0,則由式(1)得到rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λα=0"role="presentation">λα=0\lambda\alpha=0,而rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="λ≠0"role="presentation">λ≠0\lambda\neq0,故rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="α=0"role="presentation">α=0\alpha=0.這與rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="α"role="presentation">α\alpha為特征向量相矛盾,故rame"tabindex="0"style="font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;"data-mathml="Bα≠0"role="presentation">Bα≠0B\alpha\neq0
往期知識點-數(shù)學概念篇
列1
1.映射
4.函數(shù)極限性質(zhì)
7.極限存在準則
10.微分中值定理
13.曲率
16.分布積分法
19.無界函數(shù)審斂法
22.平面方程
25.空間曲線投影
28.向量函數(shù)求導
31.梯度
34.含參積分
37.收斂級數(shù)性質(zhì)
40.矩陣與方程組
43.相似與二次型
46.樣本均值|方差
列2
2.函數(shù)特性
5.連續(xù)性與間斷點
8.高階導|萊布尼茨
11.洛必達法則
14.不定積分理解
17.不定積分技巧
20.微分方程基礎(chǔ)
23.空間曲線
26.多元復合函數(shù)
29.曲線法平面
32.拉格朗日
35.格林公式I
38.級數(shù)審斂法
41.線性相關(guān)
44.概率運算|概型
列3
3.數(shù)列收斂
6.最值|介值|零點
9.參數(shù)與隱函數(shù)
12.泰勒公式
15.換元積分法
18.反常積分審斂法
21.微分方程進階
24.旋轉(zhuǎn)曲面
27.隱函數(shù)定理
30.方向?qū)?shù)
33.二重積分技巧
36.格林公式推論
39.冪級數(shù)審斂法
42.正交與特征值
45.貝葉斯公式
往期知識點-數(shù)學技巧篇
列1
1.定義域求解
4.數(shù)列極限技巧
7.中值不等式
10.洛必達法則
13.分部積分法
16.三角不定積分
19.變限積分證法
22.變限積分根值
25.定積分不等式2
28.平面曲線積分
31.旋轉(zhuǎn)曲面
34.復合函數(shù)求導
37.正項級數(shù)斂散
40.比較審斂法
43.函數(shù)變冪級數(shù)
46微分求函數(shù)
49.行列式性質(zhì)
52.逆矩陣求法
55.伴隨矩陣
58.分塊矩陣運算
61.矩陣秩的求法
64.線性表示定理
67.反求齊次方程
列2
2.函數(shù)求解技巧
5.高階導數(shù)求解
8.區(qū)間不等式
11.方程根的個數(shù)
14.三角函數(shù)積分
17.變限積分求解
20.變限積分性質(zhì)
23.定積分簡化
26.反常積分斂散1
29.向量運算法則
32.二元函數(shù)極限
35.簡化二重積分
38.交錯級數(shù)收斂
41.冪級數(shù)審斂法
44.常數(shù)項級數(shù)
47.行列式運算
50.范德蒙行列式
53.矩陣方程求解
56.矩陣行列式
59.高次冪矩陣
62.線性相關(guān)|無關(guān)
65.方程組解|判定
68.方程組解關(guān)系
列3
3.夾逼定理
6.中值等式命題
9.數(shù)值不等式
12湊微分求積分
15.定積分簡化
18.變限積分極限
21.定積分方程根
24.定積分不等式1
27.反常積分斂散2
30.點線面距離
33.可微偏導連續(xù)
36.二次積分轉(zhuǎn)換
39.常數(shù)項級數(shù)
42.冪級數(shù)和函數(shù)
45.常系數(shù)微分
48.對角線行列式
51.可逆陣求解
54.對稱與反對稱
57.零相關(guān)行列式
60.矩陣初等變換
63.向量組線性
66.基礎(chǔ)解系求法