怎么判斷正弦函數(shù)的一個周期是否存在(怎么判斷正弦函數(shù)的一個周期是否相等)
對于函數(shù)y=f(x)，如果存在非零常數(shù)T，使得當x取域中的每個值時f(x+T)=f(x)成立，則函數(shù)y=f(x)稱為周期函數(shù)，非零常數(shù)T稱為該函數(shù)的周期。事實上，任何常數(shù)kT（kZ，且k0）都是它的周期。并且周期函數(shù)f(x)的周期T是與x無關(guān)的非零常數(shù)，并且周期函數(shù)不一定具有最小正周期。
決策定理
周期函數(shù)定理可以分為幾種類型。
定理1
如果f(x)是一個周期函數(shù)，其中T*作為集合M上的最小正周期，則Kf(x)+C(K0)和1/f(x)是集合M且分別為以T*為{X/f(x)0,XM}上的最小正周期的周期函數(shù)。
證書：
T*是f(x)的周期，有XT*且f(x+T*)=f(x)，Kf(x)+C=Kf(x+T*)+C。
Kf(x)+C也是M上以T*為周期的周期函數(shù)。
假設(shè)T*不是Kf(x)+C的最小正周期，則必定存在T'(0T'T*)為Kf(x)+C的周期，則對于T'(0T'T*)是Kf(x)+C的周期有Kf(x+T')+C=Kf(x)+CK[f(x+T')-f(x)]=0,K0，f(x+T')-f(x)=0，f(x+T')=f(x)，
T’是f(x)的周期，與T*是f(x)的最小正周期不一致。T*也是Kf(x)+C的最小正周期。
同理，可以證明1/f(x)是集合{X/f(x)0，X}上以T*為最小正周期的周期函數(shù)。
定理2
如果f(x)是集合M上的周期函數(shù)，以T*為最小正周期，則f(ax+n)是集合{x|ax+bM}上的周期函數(shù)，其中T*/a作為具有正周期的最小A周期函數(shù)（其中a和b是常數(shù)）。
證書：
先證者的周期f(ax+b)。
T*為f(x)的周期，f(xT*)=f(x)，有XT*M，將x替換為ax+b，f(axT*+b)=f(ax+b)，此時ax+bM，提取a作為公因子，f[a(x+T*/a)+b]=f(ax+b)T*/a是f(ax+b)的周期。
再次證明它是f(ax+b)的最小正周期。
假設(shè)有一個周期T'/a(0T'T*;)即f(ax+b)，則f(a(x+T'/a)+b)=f(ax+b)，使用x/a-b/a替換x，并且f(x+T')=f(x)
T’是f(x)的周期，但T’T*與T*是f(x)的最小正周期不一致。
不存在f(ax+b)的周期T’/a(0T’T*;)，即f(ax+b)的最小正周期為T*/a。[1]
定理3
假設(shè)f(u)是定義在集合M上的函數(shù)，u=g(x)是集合M1上的周期函數(shù)，當XM1，g(x)M時，則復合函數(shù)f(g(x))是M1上的周期函數(shù)。
證書：
假設(shè)T是u=g(x)的周期，則1有(xT)M1且g(x+T)=g(x)f(g(x+T))=f(g(X））
=f(g(x))是M1上的周期函數(shù)。
示例1
假設(shè)=f(u)=u2是非周期函數(shù)，u=g(x)=cosx是實數(shù)集R上的周期函數(shù)，則f(g(x))=cos2x是R上的周期函數(shù)。
同理可得：f(x)=Sin(cosx),f(x)=Sin(tgx),f(x)=Sin2x,f(n)=Log2Sinx(sinx0)也是周期函數(shù)。
實施例2
f(n)=Sinn是周期函數(shù)，n=g(x)=ax+b(a0)是非周期函數(shù)，f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函數(shù)函數(shù)（中學數(shù)學認證）。
實施例3
f(n)=cosn是周期函數(shù)，n=g(x)=（非周期函數(shù)）且f(g(x))=cos是非周期函數(shù)。
證明：假設(shè)cos是周期函數(shù)，則存在T0使得cos(kZ)與T是獨立于X的常數(shù)的定義相矛盾，
cos不是周期函數(shù)。
如示例2和示例3所示，如果f(u)是周期函數(shù)并且u=g(X)是非周期函數(shù)，則f(g(x))可能是也可能不是周期函數(shù)。
定理4
假設(shè)f1(x)和f2(x)都是集合M上的周期函數(shù)，T1和T2分別是它們的周期。若T1/T2Q，則它們的和、差、積也是M上的周期函數(shù)。T1和T2的公倍數(shù)就是它們的周期。
證書：
假設(shè)((p·q)=1)假設(shè)T=T1q=T2p，則：(xT)=(xT1q)=(xT2p)M，且f1(x+T)f2(x+T)=f1(x+T1q)f2(x+T2p)=f1(X)f2(X),f1(X)f2(X)基于T1和T2的公倍數(shù)T為周期周期函數(shù)。同理，可以證明f1(x)和f2(x)是以T為周期的周期函數(shù)。
推理
假設(shè)f1(x)、f2(x).fn(x)分別是集合M上的有限數(shù)量的周期函數(shù)T1、T2.Tn，如果.（或T1、T2中的任何一個。Tn兩者之比）都是有理數(shù)，那么這n個函數(shù)的和、差、積也是M上的周期函數(shù)。
示例1
f(x)=Sinx-2cos2x+sin4x是周期函數(shù)，周期為2，即2、和/2的最小公倍數(shù)。
實施例2
討論f(X)=的周期性。
解：2tg3是以T1=為最小正周期的周期函數(shù)。
5tg是以T2為最小正周期的周期函數(shù)。
tg2是周期函數(shù)，T3=為最小正周期。
它們都是有理數(shù)
f(x)是以T1,T2,T3(T1,T2,T3)=的最小公倍數(shù)作為最小正周期的周期函數(shù)。
同樣的原理可以證明：
f(x)=cos；
f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函數(shù)。
定理5
假設(shè)f1(x)=sina1x，f2(x)=cosa2x，則f1(x)與f2(x)的和、差、積為周期函數(shù)的充要條件為a1/a2Q。
證書：
先證者充分性：
如果a1/a2Q，則令T1和T2分別為f1(x)和f2(x)的最小正周期。根據(jù)定理4，我們可以得到f1(x)和f2(x)的和、差、乘積都是周期函數(shù)。
重新證明必要性（僅證明f1(x)和f2(x)的差和乘積）。
假設(shè)sina1x-cosa2x是周期函數(shù)，則必有常數(shù)T0，
令sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x2cos(a1x+T)sin=-2sin(a2x+T)sin。
設(shè)x=2cos(a1x+T)，則(KZ)。
或CZ
并在中令2sin(a2x+T)sin=-2sin=0
從
由罪
根據(jù)上述(2)和(3)，(4)和(5)至少之一為真。
由,得
無論、、中哪一個公式成立，都有a1/a2。
假設(shè)sinaxcosa2x是周期函數(shù)，則是周期函數(shù)。
測定方法
周期函數(shù)的確定方法分為以下步驟：
(1)判斷f(x)的定義域是否有界；
示例：f(x)=cosx(10)不是周期函數(shù)。
（2）根據(jù)定義，在討論函數(shù)的周期性時，可以看出，在f(x+T)=f(x)的關(guān)系中，非零實數(shù)T與x無關(guān)。因此，可以通過求解方程f(x+T)-f(x)=0來解決討論。如果我們可以求解一個與x無關(guān)的非零常數(shù)T，我們可以得出函數(shù)f(x)是周期函數(shù)。如果這樣的T不存在，則f(x)是非周期函數(shù)。
示例：f(x)=cosx^2是非周期函數(shù)。
(3)一般用反證法證明。（如果f(x)是周期函數(shù)，則導出矛盾，而f(x)是非周期函數(shù)）。
證明：假設(shè)f(x)=ax+b是周期函數(shù)，則T(0)存在，則a(x+T)+b=ax+bax+aT-ax=0，aT=0另外，a0，T=0與T0不一致，f(x)是非周期函數(shù)。
示例：證明f(x)=ax+b是非周期函數(shù)。
證明：假設(shè)f(x)是周期函數(shù)，則必然存在一對T(0)，其中(x+T)=f(x)。當x=0時，f(x)=0，但x+T0，f(x+T)=1，f(x+T)f(x)與f(x+T)矛盾=f(x),f(x)是非周期函數(shù)。