少年被殺案后續(xù)(少年歌行)
很多人在剛上大學或者還沒有到大學注冊的時候，就認為自己會加減乘除。作者本人也太囂張了。誰沒有年少輕狂？然而，大約十年前，當我擔任物理學教授大約十年后的一天，我發(fā)現(xiàn)我真的不懂加法、減法、乘法和除法以及與這些運算相關(guān)的數(shù)字。本文向即將進入大學或已進入大學的年輕朋友介紹一點關(guān)于數(shù)字的基礎(chǔ)知識及其運算規(guī)則~據(jù)說中學就該學。希望他們博士畢業(yè)的時候能夠自信地說出來?！拔依斫膺@篇文章中的所有內(nèi)容。”
（本文內(nèi)容摘自曹則賢《云端腳下~從一元二次方程到規(guī)范場論》，科學出版社，2020）
撰文曹則賢（中國科學院物理研究所研究員）
關(guān)于數(shù)字，開頭是自然數(shù)，1、2、3……，用于計數(shù)。自然數(shù)的存在，形而上地提醒人們虛無和空虛，所以我們的祖先好不容易才引入了0——0這個符號，它的出現(xiàn)晚于[1]。自然數(shù)求和是天然的，任意兩個自然數(shù)之和都還是自然數(shù)，而且加法還滿足交換律，m+n=n+m。這是經(jīng)驗總結(jié)。減是加的逆操作，一個實實在在的物理過程。自然數(shù)的減法有些尷尬，當mn時，m-n的結(jié)果不在自然數(shù)中。當m=n時，我們得引入新的對象0，m-n=0。這個還算相當自然。當mn時怎么計算m-n？計算m-n竟然還真有需求，比如你從朋友處借了3個金幣轉(zhuǎn)天他從你這里拿走5個金幣，肉疼的感覺會讓你思考3-5的意義。針對mn的情形下m-n問題，人們不得不引入負數(shù)的概念(印度人約在公元9世紀才引入負數(shù))。這樣，我們就有了…-3，-2，-1，0，1，2，3…這樣的數(shù)系，稱為整數(shù)，包括負整數(shù)、0和正整數(shù)。正整數(shù)就是自然數(shù)。整數(shù)對于加法及其逆運算，減法，都是封閉的。不同的是，m+n=n+m，而m-n=-(n-m)。這個概念。
乘法也是相對自然的。自然數(shù)的乘法是封閉的。任意兩個自然數(shù)的乘積仍然是自然數(shù)并且是可交換的，mn=nm。整數(shù)的乘法也具有閉包性質(zhì)。任意兩個整數(shù)的乘積仍然是整數(shù)并且是可交換的，mn=nm。然而，整數(shù)的乘法有點尷尬。例如，0n=0是相當抽象的。另外，整數(shù)的乘法還有正負為負、負負為正的規(guī)則，(-m)n=m(-n)=-(mn)，(-m)(-n)=mn。為什么？從物理角度來看，12、02、3(-2)和(-3)(-2)中的乘法作為物理運算可能是不同的。讓我們先記住這些事情，這里我們不會深入討論它們。讀者在學習物理時遇到乘法時要多加注意。
我們會不斷遇到數(shù)字系統(tǒng)擴展的情況。為了便于更深入地理解這個問題，我們首先來看一個有趣的現(xiàn)實場景。當魔術(shù)師從裝有3個小球的碗中抓起1、2、3個小球時，你看到并相信碗中還剩下相應的2、1、0個小球。當魔術(shù)師拿出第四個球時，你會一邊堅持碗里的球數(shù)為0，一邊思考第四個球的來源。這種情況下一個值得注意的問題是，在此之前，你只關(guān)注了第四個球的來源?！巴雫魔術(shù)師之手”的系統(tǒng)，但是當他拿出第四個球時，你將系統(tǒng)擴展為“碗~魔術(shù)師之手”的手~未知地點”復雜系統(tǒng)。另外，當未知地點被確認為碗或魔術(shù)師的手，這個復雜的系統(tǒng)退化回“碗~魔術(shù)師的手”這個簡單的系統(tǒng)，類似這樣的擴展系統(tǒng)的東西在數(shù)系概念的發(fā)展過程中會多次出現(xiàn)。
除法是乘法的逆運算（人們后悔時會幻想逆運算），但即使是正整數(shù)的除法也有麻煩。首先，正整數(shù)除法沒有閉包性質(zhì)。當mn時，僅對于某些特定的m和n，商m/n為正整數(shù)。面對5/3和8/6，我們真的不知道該怎么辦。讓我們擴展數(shù)字系統(tǒng)并考慮0。0/m=0還是有意義的。每個人都明白，每個人都假裝在空中吃飯，最后卻餓了。至于m/0，這確實沒什么意義——誰覺得有意義誰就知道。展開數(shù)系，并將任意兩個整數(shù)的商包含到整數(shù)系中。任何正整數(shù)的商m/n稱為有理數(shù)（比例數(shù)）。你看，數(shù)系和運算規(guī)則是一體的：自然數(shù)可以加減乘（無障礙），整數(shù)可以加減乘（無障礙），只有有理數(shù)可以加減乘并分開（無阻礙）。
幾何學的發(fā)展也給我們帶來了數(shù)系擴展的需要。根據(jù)平面的歐幾里得幾何，直角三角形有畢達哥拉斯定理，c^2=a^2+b^2。當a=b=1時，c^2=2。然而，c^2=2的c不能是比例數(shù)，并且m/n的任意平方不能是2。引入了新符號，定義為
2不能是比例數(shù)，因此是無理數(shù)。我們不習慣2這樣的數(shù)字，或者說2這樣的數(shù)字太奇怪了，所以形容詞irrational帶有奇怪、不合理等貶義。Irrationalnumber的中文翻譯是無理數(shù)。相應地，有理數(shù)的中文翻譯就是有理數(shù)。參考關(guān)于整數(shù)的考慮，有理數(shù)也可以具有負號。好的，我們現(xiàn)在有了一個有理數(shù)系統(tǒng)。所有有理數(shù)和無理數(shù)都是獨立的實體。
對于一條幾何直線，選擇一個點作為原點，定義其對應的0。與同一條直線上的所有點建立一一對應的數(shù)定義為實數(shù)，記為R。實數(shù)存在連續(xù)，并且任意實數(shù)的任意小鄰域內(nèi)都存在無窮多個實數(shù)。我這里描述的是白話描述，嚴格的實數(shù)連續(xù)性理論，但我無法理解。我們暫且根據(jù)直線的形象來理解實數(shù)，直線的范圍是（-，）并且是連續(xù)的。有理數(shù)（整數(shù)是有理數(shù)的子集）是實數(shù)中的離散實體，并且度量為零（意味著它們不占用空間）。有理數(shù)的補集是無理數(shù)。無理數(shù)也有結(jié)構(gòu)性的存在，不能簡單地用無理數(shù)的概念來否定它。無理數(shù)如何成為無理數(shù)？有很多值得研究的地方。例如，a和b都是有理數(shù)。a+b2形式的數(shù)字足以構(gòu)成代數(shù)。它們的加減乘除是封閉的，即結(jié)果仍然是a+b2的形式。a+b2當然是實數(shù)，但似乎已經(jīng)有了二進制數(shù)的含義?？梢岳斫鉃橛捎欣聿糠趾蜔o理部分組成（約2）。
這就是二維空間笛卡爾坐標系中的旋轉(zhuǎn)變換——復數(shù)的乘積具有表達二維平面中旋轉(zhuǎn)的功能！1830年左右，愛爾蘭數(shù)學家和天文學家威廉·羅文·漢密爾頓爵士(1805-1865)認為，將復數(shù)寫成實數(shù)加虛數(shù)會產(chǎn)生誤導。復數(shù)應該是遵循特定算法的數(shù)字。具有兩個分量的數(shù)字可以寫為(a,b)。漢密爾頓稱其為代數(shù)偶，現(xiàn)在也稱為二進制數(shù)。漢密爾頓了解二進制數(shù)（即復數(shù)）可以表示二維平面中的旋轉(zhuǎn)，因此想要發(fā)明描述三維空間中的旋轉(zhuǎn)的數(shù)字。于是，他在1843年10月16日下午發(fā)明了四元數(shù)。四元數(shù)q=a+bi+cj+d，三個單位虛數(shù)滿足關(guān)系ij=k，jk=i，ki=j；ij=-ji,jk=-kj,ki=-ik;i^2=j^2=k^2=ijk=-1。從四元數(shù)q=a+bi+cj+d中，我們得到術(shù)語標量（其中的a）和向量bi+cj+dk，它們用于表示電磁學中的電場矢量和電磁勢標量。后來，矢量分析和線性代數(shù)也得到發(fā)展。經(jīng)典力學、量子力學和量子場論中的真實或抽象旋轉(zhuǎn)均由四元數(shù)表示。年輕人，這些內(nèi)容你應該在研究生的時候?qū)W習，但是我建議你在大學的時候?qū)W習！請注意，四元數(shù)不滿足交換律，也就是說，一般來說，
減法是加法的逆運算，除法是乘法的逆運算，連續(xù)乘法的逆運算帶來了平方根的問題。除法對于數(shù)字的存在過于嚴格。（一元）整數(shù)除以整數(shù)的結(jié)果不一定是整數(shù)。對于多元數(shù)，除法更為關(guān)鍵。赫爾維茨定理表明，只有1元、2元、4元和8元的數(shù)才有除法，即兩個數(shù)相除時，相同的數(shù)保持不變。赫爾維茨定理的證明需要深入的代數(shù)知識，而作者對此并不了解。我這里只講結(jié)論。證明過程最終歸結(jié)為整數(shù)N1是否能被數(shù)字2(N-2)/2整除的問題。我們看到只有N=2、4、8三種情況滿足這個要求。換句話說，只有1、2、4和8進制數(shù)具有除代數(shù)。認識到可整除代數(shù)只存在于2元、4元和8元數(shù)中有何用處？讓我舉一個小例子。兩個二進制（四，八）進制數(shù)的乘積仍然是二進制（四，八）進制數(shù)，因此兩個二（四，八）進制數(shù)對平方取模的乘積仍然是二（四，八）進制數(shù)的乘積)以平方為模的進制數(shù)。如果兩個（四或八）個數(shù)的實部和虛部都是整數(shù)，則任意兩個（四或八）個整數(shù)的平方和的乘積仍然是兩個（四或八）個數(shù)的平方和整數(shù)。這就是整數(shù)平方和的恒等式（參見曹則賢《驚艷一擊-數(shù)理史上的絕妙證明》，F(xiàn)LTRP，2019）。如果您了解可除代數(shù)，那么整數(shù)平方和的恒等性證明就是一個簡單的計算。如果你不懂可除代數(shù)，就很難證明它。
知道一、二、四、八四種可整除數(shù)系的存在，知道加、減、乘、除以及代數(shù)規(guī)則，知道二次、三次、一個變量的四次方程，以及五次及以上方程沒有有限根式解（及其證明）。那門我們以為初中就學過的叫代數(shù)的課，我們才剛剛邁入它的大門，還沒有正式開始?！菞l賽道的背后是無限絢麗的風景。
在這篇文章中我介紹了我所知道的一小部分加減乘除知識，我所知道的只是加減乘除知識的冰山一角。小伙子，你還認為你會“加減乘除”嗎？
我想用這篇文章來祝福那些真正想學習的年輕人。年輕人，不要驕傲，也不要灰心。好好學習，你的青春就不會留下遺憾！
注釋
[1]關(guān)于自然數(shù)是否包含0，其實是有爭論的。如果你看看0的概念，以及0的符號在最終被引入之前經(jīng)歷了多少困難，你就會知道0不是自然數(shù)。當你教孩子數(shù)數(shù)或檢查物品時，是從0開始嗎？數(shù)的性質(zhì)首先是一個物理問題。