代數(shù)訓(xùn)練(代數(shù)題和答案)

上次我們給出了集合的通俗定義，以及集合的常見構(gòu)造方法。我們先講一下映射，用映射來討論自然數(shù)的定義過程。注：這里的解釋并不完全遵循公理集合論嚴(yán)格的形式化方法，而是采用一種相對(duì)容易理解和容易接受的方式來解釋其主要思想。

上次我提到了“大寫英文字母”和“小寫英文字母”這兩個(gè)集合之間的關(guān)系。事實(shí)上，它們之間是一一對(duì)應(yīng)的。即任意一個(gè)大寫英文字母都可以唯一對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)的小寫英文字母。

一般來說，對(duì)于兩個(gè)給定的集合X和Y，如果存在一個(gè)規(guī)則使得集合X中的每個(gè)元素唯一對(duì)應(yīng)于集合Y中的一個(gè)元素，則稱X和Y之間建立了關(guān)系。記為f:rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='X#x2192;Y'角色='演示'XYX\rightarrowY。如果X中的元素x對(duì)應(yīng)于Y中的y，則記為f(x)=y。此時(shí)，元素y被稱為x的圖像，元素x是y的原始圖像。

如果集合X中的任意兩個(gè)不同元素對(duì)應(yīng)于Y中的不同元素，則該映射稱為單射；如果集合Y中的任何元素是Surjection中元素的圖像；既是單射又是滿射的映射稱為雙射或一對(duì)一對(duì)應(yīng)。

思考問題：當(dāng)且僅當(dāng)存在從集合Y到集合X的滿射時(shí)，存在從集合X到集合Y的注入。

通過這些關(guān)于集合和映射的準(zhǔn)備工作，我們終于可以定義自然數(shù)了。

什么是自然數(shù)？下面給出的定義是著名的戴德金-皮亞諾公理。

自然數(shù)公理假設(shè)N是非空集合，0是N的特定元素，f:rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='N#x2192;N'role='presentation'NNN\rightarrowN是一個(gè)映射。如果滿足以下三個(gè)條件，則稱集合N為自然數(shù)集合，其中的元素稱為自然數(shù)，0稱為零元素。

1)0不是任何元素的鏡像；

2）映射f是單射；

3)如果A是N的子集，則滿足：0屬于A，并且A在映射f下保持不變，則A等于整個(gè)N。

在上面定義的自然數(shù)集合N中，通常記為：1=f(0)=0+1,2=f(1)=1+1,3=f(2)=2+1,

另請(qǐng)記?。?=1-1、1=2-1、2=3-1，

從而我們有如下表達(dá)式：

N={0,1,2,3,}。

因此，當(dāng)n為自然數(shù)時(shí)，n+1也是自然數(shù)，n+1稱為n的后繼，n-1稱為n的前驅(qū)。

對(duì)于任意自然數(shù)n，N的子集{0,1,2,n}被稱為包含n+1個(gè)自然數(shù)的“標(biāo)準(zhǔn)”有限子集。

假設(shè)X是一個(gè)集合，P是包含n+1個(gè)元素的自然數(shù)的“標(biāo)準(zhǔn)”有限子集。如果存在來自的雙射映射，也稱為X的底為n+1。

如果存在從集合X到自然數(shù)集合N的單射映射（相當(dāng)于從N到X的滿射），則集合

一般來說，如果兩個(gè)集合之間存在雙射對(duì)應(yīng)，則稱兩個(gè)集合具有相同的基數(shù)，或者如果它們包含相同數(shù)量的元素。

數(shù)學(xué)歸納原理的合理性

對(duì)于自然數(shù)n的命題，當(dāng)n=0時(shí)，該命題的結(jié)論成立：歸納基礎(chǔ)。

假設(shè)該命題對(duì)于自然數(shù)n成立。如果能夠證明該命題對(duì)于自然數(shù)n+1也成立，那么該命題對(duì)于任何自然數(shù)都成立。

事實(shí)上，假設(shè)A是由使命題成立的所有自然數(shù)組成的N的子集，根據(jù)自然數(shù)公理的3），可以立即推導(dǎo)出方程：A=N。

有了自然數(shù)集合，我們就可以定義整數(shù)集合來形成整數(shù)環(huán)。再者，有理數(shù)域是通過整數(shù)環(huán)來構(gòu)造的（有理數(shù)到實(shí)數(shù)的過程涉及到極限的思想，書上沒有提到）。根據(jù)多項(xiàng)式環(huán)的商環(huán)，可以構(gòu)造復(fù)數(shù)域等。這就是數(shù)的展開過程（詳見《代數(shù)選講》中的詳細(xì)討論）。