2020武漢中考數(shù)學(xué)解析(2021年武漢中考數(shù)學(xué)23題解析)

前天發(fā)了第一篇公眾號(hào)文章后，由于操作不熟悉，手忙腳亂，犯了兩個(gè)錯(cuò)誤：截圖時(shí)第一題的結(jié)果不見了；第2題中OD寫成OC。但受到了廣大數(shù)學(xué)教師的熱烈歡迎和鼓勵(lì)。我希望我能繼續(xù)保持這種熱情。

今天擬提供《2023年武漢中考數(shù)學(xué)期末題解答研究》。說起武漢中考數(shù)學(xué)題，在線數(shù)學(xué)老師們幾乎一致稱贊武漢題質(zhì)量高、有研究價(jià)值、思維內(nèi)容高、教學(xué)導(dǎo)向性好。多年來保持創(chuàng)新并不容易。當(dāng)然，還有一個(gè)小爭議，那就是最后的“拋物線背景下的最終題”有高中解析幾何的傾向。無論如何，如果當(dāng)?shù)氐睦蠋熯m應(yīng)了，也許這是一件好事，至少有助于初中和高中之間的聯(lián)系。解決這類問題是我所擅長的?；蛟S他是在自夸吧。一方面，我對(duì)高中解析幾何做了一些研究；另一方面，針對(duì)初中的類似問題，我也總結(jié)了一些行之有效的工具，比如“間距公式”（以前被別人稱為“于涵定理”）。這個(gè)工具相當(dāng)強(qiáng)大，武漢的很多考試題用它都可以輕松解決！我們稍后再與您聊天。當(dāng)然，要得出結(jié)論并不容易。如何規(guī)范流程書寫就更重要了。今天我們的“解決方案研究”將提供一個(gè)模型。

廢話不多說，我們先看正題：

一般來說，高中教師通常需要參加某個(gè)地區(qū)的中考某一科目，但事實(shí)并非如此。至于武漢這道題的命題，有高中老師參與命題，是大概率事件。這是因?yàn)檫@個(gè)問題涉及到“極點(diǎn)和極線”的背景。在初中數(shù)學(xué)教師中，幾乎看不到這樣的背景。在高中，這一直是2012年以來高中解析幾何的熱門話題。很多問題在高等幾何的背景下可以立即解決，但如果用常規(guī)方法解決，過程極其繁瑣和漫長。為此，高中數(shù)學(xué)教師深受其害。網(wǎng)上有人“好心”地洋洋灑灑地介紹了高等幾何的背景。但在我看來，知道結(jié)論固然重要，但如何處理初始化才是更需要研究的課題。否則只會(huì)讓人更加“痛苦”。筆者對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行了長期思考，并取得了一定的成果。廢話不多說了?；卮鹬暗膯栴}：

教學(xué)建議：

這道題的思路很簡單：問P點(diǎn)是否在一條直線上，就看P點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)是否存在等價(jià)關(guān)系？存在什么樣的等價(jià)關(guān)系？從確定性的角度理解：P+OM，P+GN，直線MN經(jīng)過不動(dòng)點(diǎn)H，M~N（用“~”表示相關(guān)性），于是問題就解決了。困難在于如何用數(shù)學(xué)方法描述每一步。移動(dòng)直線MN經(jīng)過固定點(diǎn)H(1,2)，M點(diǎn)與N點(diǎn)相關(guān)。那么如何快速建立M點(diǎn)與N點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系呢？“于寒定理”的背景油然而生！同時(shí)，要“不往下看”，規(guī)范地寫出解決過程。這就是我這個(gè)問題要講的核心技能；(3)移動(dòng)點(diǎn)P由移動(dòng)直線OM和移動(dòng)直線GN確定?？碢點(diǎn)是否在一條固定直線上，只要看P點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的等價(jià)關(guān)系是否滿足直線形式即可。如何建立P點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的等效關(guān)系？下午~下午，下午~下午。如何建立它們之間的等價(jià)關(guān)系？“縱橫比”來了！同時(shí)，根據(jù)前面已經(jīng)得到的M~N的關(guān)系，可以得到P點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的等價(jià)關(guān)系。以下是拓展知識(shí)，供有興趣的老師學(xué)習(xí)和研究：思考：為什么是乘法方程中有一條額外的已知直線y=2x嗎？其實(shí)這是可以理解的：當(dāng)MG，NO時(shí)，此時(shí)直線MOOG，直線GNOG。兩條直線重合后，如何理解它們的交點(diǎn)？重合直線上的所有點(diǎn)都可以理解為它們的交點(diǎn)。也就是說，如果允許出現(xiàn)這樣的極端情況，那么所求的方程必須包含一條直線y=2x。高級(jí)幾何視角：對(duì)于拋物線，M、O、N、G在拋物線上，MN與OG相交于H，MO與GN相交于P，形成“十字圖”，且P點(diǎn)的軌跡必定為H點(diǎn)。關(guān)于拋物線的極線。更原始的說法是：H點(diǎn)相對(duì)于線段OG的調(diào)和共軛點(diǎn)在這條極線上。另一方面，由于H是線段OG的中點(diǎn)，因此H點(diǎn)相對(duì)于線段OG的調(diào)和共軛點(diǎn)是無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，表明該無窮遠(yuǎn)點(diǎn)位于前一條對(duì)極線上。因此，H點(diǎn)繞拋物線的極線一定與OG平行。在高級(jí)幾何中，兩條平行直線被理解為相交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。相反，如果兩條直線相交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，則表示這兩條直線彼此平行。也就是說，點(diǎn)P不僅在一條確定的直線上，而且這條確定的直線必須與OG平行。無獨(dú)有偶，“2023年福建省中考數(shù)學(xué)期末題”與武漢的題目一模一樣。因此，稍后更新公眾號(hào)文章時(shí)，我打算講一下《2023年福建決題解決方案研究》。

有人提出建議并要求我提供解釋視頻。我也確實(shí)有這個(gè)想法。原因有很多。首先，在今年上海舉辦的“數(shù)學(xué)行者”教研活動(dòng)中，我的《用確定性思維解決問題》的講座受到老師們的好評(píng)。不幸的是，話題還沒有說完，很多老師強(qiáng)烈要求我花時(shí)間繼續(xù)講解。另外，一些年輕專家講解的問題比較難，我想用網(wǎng)絡(luò)授課的方式來彌補(bǔ)這些不足。其次，我也希望能夠常態(tài)化在線教學(xué)，為一線教師提高業(yè)務(wù)提供盡可能的幫助。現(xiàn)在的問題是如何運(yùn)營我們身邊的硬件設(shè)施來實(shí)現(xiàn)在線教學(xué)。新房子剛剛裝修好，我還沒有搬進(jìn)去。買個(gè)86寸的大背投肯定沒問題。目前專家講課的方式有兩種：一種是坐在電腦前，利用物理投影，將視頻上寫的內(nèi)容投影到視頻上；另一種是坐在電腦前，用物理投影將視頻上寫的內(nèi)容投影到視頻上。另一種是像平常課堂教學(xué)一樣，直接在背投前面講解黑板上的字跡。我是一名一線教師，并沒有成為專家的特權(quán)。我更喜歡后一種方式，因?yàn)樗苷宫F(xiàn)我的教學(xué)氣場(chǎng)。在這種情況下，必須在外圍安裝攝像頭……等等。我對(duì)這些設(shè)計(jì)和操作一無所知。有朋友可以幫我規(guī)劃一下嗎？前天我簡單提到了《會(huì)議手冊(cè)》，沒想到很多人對(duì)它感興趣。有人細(xì)心，想看看《會(huì)議手冊(cè)》的封面和封底。

聽說還剩20本左右。

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