定積分在物理方面的應(yīng)用(定積分的物理應(yīng)用需要用到的公式)

這部分的研究主要包括三個方面的研究，包括變力沿直線所做的功、水壓、重力的計算以及單元法的應(yīng)用。一?？勺兞ρ刂本€所做的功(W=F*S)。1.示例：在r軸坐標原點o處放置一個電荷為+q的點電荷。它產(chǎn)生的電場。如果有一個單位正電荷放置在距原點o距離r處，則電場力為其力為F=k*q/r2。這是物理學中的一個解決方案。對于這個問題，我們可以應(yīng)用數(shù)學中的定積分來解決。假設(shè)r是一個整型變量，那么它的變化區(qū)間是[a,b]，設(shè)[r,r+dr]為[a,b]中的任意區(qū)間，運動過程中，dw=kq/r2dr，那么我們所需功為W=不定積分a，bkq/r2dr=kq[-r/1]到b=kq(1/a-1/b)。對于這種變力沿直線所做的功，可以用定積分的思想來求解。2、反常積分的用途：用于計算點電荷從某一點移動到無窮遠時電場力所做的功W。表達式為a+無窮大kq/r2*dr=[-kq/r]a+無窮大=kq/a；3、底部面積為s的圓柱形容器內(nèi)存有一定量的氣體。在等溫條件下，由于氣體的膨脹，活塞被從b點推向b點。求氣體壓力在運動過程中所做的功。解：（元法）等溫條件pv=k;v=xs;所以p=k/xs。所以作用在活塞上的力F=p*s=k/xs*s=k/s；以x為積分變量，變化區(qū)間為[a,b]，設(shè)[x,x=dx]為[a,b]上任意小區(qū)域，工作元素為dw=k/sdx；則所做的功為W=定積分k/ds*dx=k*lnb/a；4.總結(jié)：利用元素法利用特定區(qū)間的定積分思想來解決物理問題。2.水壓1.物理：壓力p=F/sp=pgh在某些問題下，由于不同水深的點處壓力p不同，因此用上述方法無法計算板一側(cè)的水壓。集成的思路是解決問題2，水平放置一個圓柱形的水桶，水桶里裝滿了半桶水。設(shè)水桶底部的半徑為R，水的密度為P。計算水桶一端的壓力。解：1.建立坐標系2.計算水平面通過圓心時垂直半圓一側(cè)的水壓。以x為積分變量，變化區(qū)間為[0,R]。令[x,x+dx]為[0,R]上的任意小區(qū)間。窄條的面積約為2的平方根下的R2-x2。因此，在dp=2Pgx的根符號下，單元的壓力為r2-x2*dx。椰殼雨衣所需的壓力為P=定積分(0,R)r2-x2*dx=-pg[2/3(r2-x2)3/2次方](0,R)=3/2pGR的立方。3.將具有斜邊2a的等邊直角三角形板垂直浸入水中。斜邊與水平面齊平。重力加速度為g，水的密度為p。那么板上的水壓力為---解：1.建立坐標系2.劃分一小條進行計算，最后觀察作用間隔。3、計算結(jié)果：F=定積分(0,a)pg(a-y)2ygy；總結(jié)：建立坐標系，通過元素法選擇組合計算，確定作用面積，計算定積分；3.引力1.物理：質(zhì)量為m1和m2、距離為r的兩個粒子之間的引力大小為F=G*m1m2/r2，G為引力素數(shù)，引力方向為沿連線兩個質(zhì)點。但要計算細棒對質(zhì)點的引力，由于細棒上各點與質(zhì)點的距離發(fā)生變化，質(zhì)點上各點的引力方向也發(fā)生變化，因此上式不能成立用于計算它。2、假設(shè)有一根長度為l、線密度為U的均勻細棒。在垂直線上距離a單位處有一個質(zhì)量為m的質(zhì)點M。嘗試計算桿對粒子M的引力。解決方法：1、建立坐標系。桿位于y軸，粒子m位于x軸，桿的終點為原點o。

2、取該元素作為積分變量。變化范圍為-l/2l/2。取任意一小部分，質(zhì)量為udy，因此重力大小為F=Gmudy/a2+y23。水平方向的重力為Fx=-定積分(-2/1,2/1)Gamudy/(a2+y2)的2/3次方，4。·=垂直方向重力為0；3.重力的計算和上面兩題一樣求解方法是一樣的，采用定積分的思想。以下示例將幫助您更好地理解定積分在物理學中的應(yīng)用。1、由實驗可知，彈簧在拉伸過程中所需的力f與伸長量s成正比。F=kxk是比例常數(shù)。如果彈簧計算將物體從其原始長度拉伸六厘米所做的功。（這個問題與變力沿直線所做的功有關(guān)）。解：W=(0,6)ksds=18k(N.cm)=0.18k(J).2。一個直徑20厘米、高80厘米的圓柱體充滿蒸汽，壓力為每平方厘米十牛頓。假設(shè)溫度保持不變，需要做多少功才能使蒸汽體積減少一半？解：根據(jù)條件，pv=k是常數(shù)，k=10*(100)2**(0.1)2*0.8=800。假設(shè)鍋筒內(nèi)高度減少hcm時蒸汽壓力為p(h)N/m2，則p(h)=k/v=800/(0.8-h)s，壓力p=p(h))s=800/0.8-h，所以所做的功是W=(0,0.4)800/0.8-h*dh=800*ln2=1742J。3、證明將質(zhì)量為m的物體從地球表面提升到h所做的功為w=mgRh/R+h，其中g(shù)為重力加速度，R為地球半徑；（2）人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為173公斤，進入軌道高度為距地面630公里。需要做多少功才能克服地球引力，將這顆衛(wèi)星從地面送至630公里的高空？已知這等于9.8米每平方秒，地球半徑r等于6,370公里。解：(1)：當質(zhì)量為m的物體距離(R,R+h)mgR2/x2*dx=mgR2*(1/R-1/R+h)=mgRh/R+h時。(2）。從第一個問題我們知道所做的功是w=mgRh/R+h=971973=9.72*(10)5(KJ).4。1、物體按照x=CT的三次方做直線運動。介質(zhì)的阻力與速度的平方成正比。計算物體從x=0移動到x=a時克服介質(zhì)阻力所做的功。解：根據(jù)題意：速度為v=dx/dt=3c(t)2，阻力為R=k(v)2=9(k)2(c)2(t)4。由此可得，dw=Rdx=27k(c)3(t)6dt；假設(shè)當t=T，x=a時，我們得到T=(a/c)1/3，所以W=(0,T)27k(c)3(t)6dt=27k(c)3(T)7/7=27/7k(c)2/3(a)7/3.5。用錘子將鐵釘釘入木板。假設(shè)木板與鐵釘相對。阻力與釘子釘入木板的深度成正比。第一次將釘子釘入木板一厘米，如果錘子所做的功與錘子相等，則第二次將釘子釘入木板。小時。

釘子又刺入木板了多少？解：設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇镽，鐵釘刺入木板深度為h時的阻力為R=kh。錘子第一次敲擊時做了什么？功：w1=(0,1)Rdh=(0,1)khdh=k/2。假設(shè)錘子第二次敲擊時，鐵釘進入木堆的距離為h0Cm。所做的功是w2=(1,1+h0)khdh=k/2[(1+h0)2-1]，又因為w1=w2，所以h0=平方根2-1；6.假設(shè)一個圓錐體儲水箱深15米，直徑20米。它充滿了水?，F(xiàn)在用泵吸走所有的水。我們需要解決的問題是：以高度h為積分變量，范圍是0到15。對于這個區(qū)間，任意一個小區(qū)間[h,h+dh]，體積為(10/15h)2*dh，r為水的密度，則所做的功為w=(0,15)4/9rg(h)2(15-h)dh=1875rg=5.76975*(10)7(J).7。有門有其形狀、大小。水面超出門頂兩米。求閘門上的水壓？解：解位于微區(qū)間[x,x+dx]薄片上的微壓力（水的密度取1）為dF=1x21000gdx=2000xgdx。壓力F=(2,5)dF=2000z8dr=100028=100021g(k)=219.8(kN)=205.8(kN).8。有一個等腰梯形閘門。它的兩個底座分別長10米和6米。高度為20米。較長的底座與水面齊平。計算閘門一側(cè)的水壓？解：建立坐標系，則過A、B點的直線方程為y=10x-50。取變量，y的范圍為[-20,0]，對應(yīng)小區(qū)間[y,y+dy]的近似面積為2.xd10dy，y表示水的密度，因此水壓F=(0,20)(y/5)ygdy=1.437310(N)=14373(kN).9。一塊等腰三角形，底長8厘米，高6厘米，垂直沉入水中，頂部和底部在下，與水平面平行，高出水面3厘米。表面壓力有多大？解：建立坐標系，以三角形的頂點為原點，積分變量為OB的方程為y=x，所以對應(yīng)的小區(qū)間[x,x+dx]的面積近似值為ds=2·.2/3xdx=4/3xdx。記y為水的密度，則x處的水壓為對于p=yg(x+0.03)=1000g(x+0.03)，壓力為F=(0,0.06)1000g(x+0.03)·xdx=0.168g=1.65(N)。