高考函數(shù)導(dǎo)數(shù)題型總結(jié)(導(dǎo)函數(shù)高考題型秒殺)
我們之前講過(guò)一些記憶數(shù)學(xué)公式的技巧。這次我們就來(lái)說(shuō)說(shuō)高考數(shù)學(xué)中的函數(shù)導(dǎo)數(shù)。。
基礎(chǔ)知識(shí)層面：求導(dǎo)運(yùn)算公式與法則；導(dǎo)數(shù)的代數(shù)和幾何意義
題型解法層面：求函數(shù)單調(diào)性與最值；方程解（函數(shù)零點(diǎn)）的分布；不等式成立證明與求解
數(shù)學(xué)思想層面：數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、特殊與一般思想的應(yīng)用而如果將更多的題目放在一起看，我們將能夠有更多不同的方式來(lái)對(duì)于考試規(guī)律及變化、題目設(shè)計(jì)技術(shù)以及分類訓(xùn)練方法做更多的研究。
今天給大家分享一個(gè)看似簡(jiǎn)單的基本問(wèn)題，如何查看一道題目中更豐富的內(nèi)容和層次。這是2013年北京市高考理科數(shù)學(xué)的第18題，函數(shù)導(dǎo)數(shù)大題，之所以選擇它是因?yàn)樗诒本└呖紨?shù)學(xué)的歷史上具有劃時(shí)代的意義：北京高考?xì)v史上第一次在導(dǎo)數(shù)大題中沒(méi)有設(shè)置參數(shù)。
一般我們把導(dǎo)數(shù)中的切線問(wèn)題歸結(jié)為：以切點(diǎn)橫坐標(biāo)x0為核心的方程問(wèn)題。在x0已知的情況下，一般是求切線方程的問(wèn)題；在x0未知的情況下，則會(huì)變成關(guān)于x0的方程求解——特別是在復(fù)雜情況無(wú)法直接求解時(shí)方程的解（函數(shù)零點(diǎn)）的分布問(wèn)題。這道題目的第（）問(wèn)則有趣很多。證明“曲線在直線下方”是一個(gè)典型的“形”的表述，需要首先轉(zhuǎn)化成“數(shù)”的形式，即對(duì)應(yīng)的不等式恒成立的問(wèn)題（而“除切點(diǎn)外”是為了嚴(yán)謹(jǐn)性的需求，因?yàn)樵谇悬c(diǎn)處它們是相切的，無(wú)所謂上下）；而一般意義上，不等式的恒成立問(wèn)題總是可以/應(yīng)該轉(zhuǎn)化成另一個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)進(jìn)行處理，至此，導(dǎo)數(shù)如約出場(chǎng)，因?yàn)閺?fù)雜函數(shù)的最值問(wèn)題需要通過(guò)導(dǎo)數(shù)方法來(lái)進(jìn)行解決。那么接下來(lái)我們先看看，在這個(gè)基本的轉(zhuǎn)化化歸思想的指引下，題目會(huì)變成什么樣子。
至此，我們就完成了問(wèn)題的翻譯，將一個(gè)圖形關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新函數(shù)的最大值問(wèn)題；接下來(lái)，我們需要找到導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性和最大值，就是這樣.
方法一：先劃分，后合并。我們研究的不是整個(gè)導(dǎo)函數(shù)，而是導(dǎo)函數(shù)決定符號(hào)的部分，比如上面的分子；我們研究的甚至不是導(dǎo)函數(shù)決定符號(hào)的部分，而只是導(dǎo)函數(shù)決定符號(hào)的部分的符號(hào)。而這個(gè)部分目前看來(lái)是由兩個(gè)函數(shù)做加減法得到的，因此在整體判斷和研究不易的情況下，當(dāng)然應(yīng)該考慮分開(kāi)看正負(fù)，然后做運(yùn)算。在相當(dāng)一部分求導(dǎo)之后依然復(fù)雜的判斷和討論中，先分后合是非常重要的解決問(wèn)題的思路，而這其實(shí)也是導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的題中應(yīng)有之義。
方法二：再次求導(dǎo)。對(duì)于一些比較復(fù)雜的導(dǎo)函數(shù)（決定符號(hào)的部分），先除后合可能不足以解決問(wèn)題。此時(shí)我們應(yīng)該再次回顧一下衍生工具的含義：研究復(fù)雜函數(shù)的性質(zhì)；一次求導(dǎo)并不足以畢其功于一役，所以再次求導(dǎo)來(lái)研究復(fù)雜的導(dǎo)函數(shù)，從而判斷其零點(diǎn)與符號(hào)，是我們需要掌握的重要研究方法和解題思路。
三個(gè)數(shù)的組合方法
方法四：轉(zhuǎn)化回到最初。我們實(shí)際上已經(jīng)進(jìn)行了有效的變換工作，將圖像的上下關(guān)系轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的最優(yōu)值問(wèn)題，但是依然不夠，函數(shù)形式的復(fù)雜使得我們求導(dǎo)之后遇到了困難。如果我們能再多走一步，將不等式轉(zhuǎn)化為更簡(jiǎn)單一些的函數(shù)，也許求導(dǎo)的復(fù)雜都不會(huì)出現(xiàn)呢。這就是我們經(jīng)常講到的，在方程與不等式問(wèn)題中的，先轉(zhuǎn)化，后計(jì)算；先變形，后求值。
至此，我們就完成了這樣一件看似簡(jiǎn)單又實(shí)用的事情的研究和挖掘。親愛(ài)的同學(xué)們，當(dāng)你們?cè)谧鲱}的時(shí)候遇到類似的困難時(shí)，你們是怎么想的呢？親愛(ài)的老師們，當(dāng)您在上課時(shí)遇到類似的場(chǎng)景您會(huì)怎么說(shuō)？歡迎大家一起討論、研究。我們將在下一期繼續(xù)。更多精彩內(nèi)容請(qǐng)關(guān)注搞笑微觀世界，我們將持續(xù)為您提供！）