三角函數(shù)公式幾乎用個遍數(shù)表示(三角函數(shù)所用公式)

這是2022年高考數(shù)學卷一中關于三角形和三角函數(shù)的題，題目雖然不難，但是非常經(jīng)典。因為它使用了大量的三角函數(shù)公式，所以幾乎都用過一次。

設ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c。已知cosA/(1+sinA)=sin(2B)/(1+cos(2B))。

(1)若C=2/3，求B；

(2)求(a^2+b^2)/c^2的最小值。

分析：要解決這類問題，首先要把已知的方程關系轉(zhuǎn)化為解決問題所需的公式。觀察已知的等價關系，我們可以猜測轉(zhuǎn)換過程需要用到多個角度的正弦和余弦公式，分別是：

sin(2B)=2sinBcosB和cos(2B)=2(cosB)^2-1=1-2(sinB)^2。代入已知的等價關系并化簡后，就很難進行下一步了。我憑空想象出來的。我們只能摸著石頭過河。

解：cosA/(1+sinA)=sin(2B)/(1+cos(2B))=2sinBcosB/(1+2(cosB)^2-1)=sinB/cosB。

[當然，接下來我們可以嘗試很多不同的事情，但這基本上是一個試錯的過程。如何提高一擊命中的概率，只能依靠解決問題中積累的經(jīng)驗和觀察問題的能力?，F(xiàn)在將比例的基本性質(zhì)應用到上面得到的結(jié)果上，即“兩個內(nèi)部項的乘積等于兩個外部項的乘積”。這是小學六年級數(shù)學第二冊學到的知識】

cosAcosB=sinB+sinAsinB，【注意觀察，移項后，公式中出現(xiàn)了“和的余弦公式”的結(jié)果】

因而sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=-cosC，【余角的余弦彼此相反，基礎知識一定要扎實。因此，根據(jù)余角的正弦等于余弦，對角的正弦相反，可得]

(1)B=C-/2=/6。

【關于第二個問題，你一看就知道需要用到“正弦定理”a/sinA=b/sinB=c/sinC=k。只需為它們設定一個比例即可。那么a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC，代入原公式，得]

(2)(a^2+b^2)/c^2=((sinA)^2+(sinB)^2)/(sinC)^2【然后想辦法把它轉(zhuǎn)換成關于某個角度的角度正弦角函數(shù)]

=((sin(B+C))^2+(sinB)^2)/(sinC)^2【利用余角的正弦相等：sinA=sin(B+C)】

=((sinBcosC+sinCcosB))^2+(sinB)^2)/(sinC)^2【利用和的正弦公式：sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB]

=(-(cosC)^2+(sinC)^2)^2+(cosC)^2)/(sinC)^2【利用問題的結(jié)論，sinB=-cosC，所以cosB=sinC。這種關系有點難以理解。即sin(C-/2)=-cosC；且cos(C-/2)=sinC。每一個公式都要牢牢記住，尤其是最后一個。感覺有點奇怪。從特殊角度檢查一下。就是這樣]

=((sinC)^2-1+(sinC)^2)^2+1-(sinC)^2)/(sinC)^2=(4(sinC)^4-5(sinC)^2+2)/(sinC)^2【這次我們使用了正弦和余弦的平方和等于1的公式，以及完美的平方展開】

=4(sinC)^2-5+2/(sinC)^2=4平方根2-5。[只有在這里你才能使用平均不等式。如果你從一開始就使用a^2+b^2的均值不等式，最小值，那將是完全錯誤的，因為ab不是一個固定值，所以它不能。而這里2sinC和平方根2/sinC的乘積總是等于2平方根2，所以可以使用均值不等式]

所以當4(sinC)^2=2/(sinC)^2，即sinC=1/第四個平方根2時，(a^2+b^2)/c^2=4平方根2-5為最低。【一定要保證能得到最小值。否則，將采用域端點的值]

老黃知識生態(tài)系統(tǒng)2999次同意去咨詢怎么樣？這個問題被認為是此類問題的經(jīng)典！