第二十四章圓的思維導圖(第二十四章圓的教材分析)
1.圓的相關(guān)屬性
1.與圓相關(guān)的概念
(1)定義：在平面內(nèi)，線段OA繞其固定端點O旋轉(zhuǎn)，與另一端點A所形成的圖形稱為圓。
(2)弦：連接圓上任意兩點的線段稱為弦。
(3)直徑：通過圓心的弦稱為直徑。
(4)圓弧：圓上任意兩點之間的部分稱為圓弧。
(5)半圓：圓的任意直徑的兩個端點將圓分成兩條弧，每條弧稱為半圓。
(6)等圓和等?。嚎梢灾睾系膬蓚€圓稱為等圓。在同圓或等圓中，可以相互重疊的圓弧稱為等圓弧。
2.垂直于弦的直徑
(1)圓的對稱性：圓是軸對稱圖形，任何有直徑的直線都是圓的對稱軸。
(2)垂直直徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并平分弦所對的兩條弧。
3.圓弧、弦、圓心角
(1)圓心角：與圓心處的頂點所成的角稱為圓心角。
(2)圓心角定理：在全等圓或等圓中，相等圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。
4.圓周角
(1)定義：頂點在圓上且兩邊都與圓相交的角稱為圓周角。
(2)圓周角定理：在全等圓或全等圓中，全等弧或全等弧所對的圓周角等于該弧所對的圓心角的一半。
（3）內(nèi)接圓的多邊形：如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，則該多邊形稱為內(nèi)接圓的多邊形，該圓稱為該多邊形的外接圓。
(4)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角線互補。
2、點與圓、直線與圓的位置關(guān)系
1.點與圓的位置關(guān)系
設(shè)O的半徑為r，點P到圓心的距離為d：
(1)點P在O,dr之外；
(2)點P在O上，d=r；
(3)點P在O,dr內(nèi)。
2.三角形電路
(1)不在同一條直線上的三點確定一個圓。
(2)與三角形外接圓相關(guān)的概念：通過三角形的三個頂點可以畫圓。這個圓稱為三角形的外接圓。
(3)如何外接三角形
1確定圓心：三角形兩邊垂直平分線的交點為圓心；
2確定半徑：交點到三角形任意頂點的距離就是外接圓的半徑。
(4)反證法：證明一個命題時，并不直接從該命題的已知知識中得出結(jié)論，而是假定該命題的結(jié)論不成立。由此，通過推理就衍生出了矛盾。根據(jù)矛盾判斷假設(shè)不正確，從而原命題為真。這種方法稱為反證法。
3.直線與圓的位置關(guān)系
(1)交點：直線和圓有兩個公共點。這時候我們就說這條直線與圓相交。這條直線稱為圓的割線。
(2)相切：直線和圓之間只有一個公共點。這時我們說這條直線與圓相切。這條直線稱為圓的切線，公共點稱為切點。
(3)分離：直線和圓沒有共同點。在這種情況下，我們說直線與圓是分開的。
(4)直線與圓的位置關(guān)系
1交點：公共點的數(shù)量，2；公共點、交點的名稱；直線的名稱，割線；中心O到直線的距離d與半徑r、dr的關(guān)系；
2Tangency：公共點的數(shù)量，1；公共點、切點的名稱；直線、切線的名稱；圓心O到直線的距離d與半徑r的關(guān)系，d=r；
3分離度：公共點的個數(shù)，0；公共點名稱，無；直線名稱，無；中心O到直線的距離d與半徑r、dr的關(guān)系；
4.圓的切線
(1)切線確定定理：經(jīng)過半徑外端并垂直于該半徑的直線是圓的切線。
(2)切線性質(zhì)定理：圓的切線垂直于通過切點的半徑。
5、切線長度
(1)切線長度：在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，該點與該切點之間的線段的長度稱為該點到圓的切線長度。
(2)切線長度定理：從圓外一點可以引出圓的兩條切線。它們的切線長度相等。該點和連接圓心的線平分兩條切線之間的角度。
6.切線的確定和性質(zhì)的應用
(1)如何使用輔助線：利用切線的性質(zhì)進行計算或演示的一種常見的輔助線是連接圓心和切點，并利用垂直構(gòu)造直角三角形來解決相關(guān)問題。
(2)證明直線與圓相切的三種方法
證明直線和圓有唯一的公共點。
證明直線穿過半徑的外端并垂直于該半徑。
證明圓心到直線的距離等于圓的半徑。
7.三角形的內(nèi)切圓
(1)概念：與三角形各邊相切的圓稱為三角形的內(nèi)切圓。
(2)方法：
1確定圓心：三角形兩角平分線的交點為圓心；
2確定半徑：交點到三角形任意邊的距離就是內(nèi)切圓的半徑。
8.圓之間的位置關(guān)系（R和r分別為大圓和小圓的半徑，d為圓心之間的距離）
(1)分離
1外分離：當兩個圓沒有公共點，且一個圓上的點在另一個圓之外時，稱為兩個圓的外分離；dR+r；共同點的數(shù)量，沒有。
2包含：當兩個圓沒有公共點且一個圓上的點在另一個圓內(nèi)時，稱這兩個圓包含。當兩個圓的中心重合時，我們說這兩個圓同心。圓圈；dR+r（含），d=0（同心圓）；公共點，沒有。
(2)切向
1割包皮：當兩個圓有唯一的公共點，且除此公共點外，一個圓上的點都在另一個圓之外時，稱為兩個圓的割包皮；d=R+r；公共點的個數(shù)，1。
2內(nèi)接：當兩個圓有唯一的公共點，且除該公共點外，一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，稱為兩個圓的內(nèi)接；d=R-r;公共點數(shù)量，1個。
(3)交點：當兩個圓有兩個公共點時，稱為兩圓相交；R-rdR+r；公共點的數(shù)量為2。
3.正多邊形和圓形
1.相關(guān)概念：正多邊形的外接圓的圓心稱為正多邊形的中心，外接圓的半徑稱為正多邊形的半徑，正多邊形各邊所對的圓心角稱為正多邊形的中心角，中心角到正多邊形的一條邊之間的距離稱為正多邊形的中心距。
2、如何繪制正多邊形：繪制正n邊形的思路就是將圓分成n等份，然后將相等的點依次連接起來，得到想要的正多邊形。
3.正多邊形的計算
假設(shè)正多邊形的邊數(shù)為n，半徑為R，邊距為r，邊長為a，則：
(1)內(nèi)角：
(2)圓心角：
(3)半圓心角：
(4)半徑：
(5)周長：
(6)面積：
4.弧長和扇形面積
1、弧長公式：圓心角所對的弧長。
2、扇形的面積公式：圓心角為的扇形的面積為。
3、母線定義：圓錐是由底面和側(cè)面圍成的幾何體。連接圓錐的頂點和底圓周上任意點的線段稱為圓錐的母線。
4.錐面相關(guān)計算
假設(shè)圓錐母線長度為l，基圓半徑為r，則：
圓錐邊面積：
圓錐體的總面積：