教我怎樣計(jì)算(計(jì)算的小技巧)
不知不覺(jué)，我們又迎來(lái)了一年一度的“日”（兼白色情人節(jié)）。2011年，國(guó)際數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)正式宣布每年3月14日為國(guó)際數(shù)學(xué)日。小學(xué)數(shù)學(xué)課本告訴我們，的小數(shù)部分是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，不能完全簡(jiǎn)單地表示為分?jǐn)?shù)。那么值此日之際，讓我們回顧一下小學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，揭開(kāi)的神秘面紗。
某不存在的網(wǎng)站上慶祝日的Doodle，2018年3月14日。值得一提的是圖片上展示的是名廚DominiqueAnsel為日特別設(shè)計(jì)的蘋(píng)果派。向下滑動(dòng)瀏覽詳細(xì)菜譜
資料來(lái)源：piday.org
1的前世今生
就是人們常說(shuō)的圓周率，是一個(gè)數(shù)學(xué)常數(shù)，定義為圓的周長(zhǎng)和其直徑的比值。早在遠(yuǎn)古時(shí)期，人類就發(fā)現(xiàn)圓的周長(zhǎng)與其直徑之間有著不可告人的秘密。有出土文物顯示，早在古巴比倫時(shí)期，當(dāng)時(shí)的幾何學(xué)家已經(jīng)將圓周率的值推算到25/8。
最早有記錄的嚴(yán)格算法可以追溯到公元前250年。古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德通過(guò)正多邊形算法求得的下界和上界分別為223/71和22/7，即3.1408453.142857。
《沉思的阿基米德》
藝術(shù)家
年
類型
收集地點(diǎn)
多梅尼科·費(fèi)蒂
約1620
布面油畫(huà)
老大師畫(huà)廊，德累斯頓
阿基米德求圓周率的思想是首先構(gòu)造圓的內(nèi)切多邊形和對(duì)應(yīng)的外接多邊形。當(dāng)邊數(shù)足夠多時(shí)，兩個(gè)多邊形的周長(zhǎng)接近圓的周長(zhǎng)的下界和上界。
思考題：如何證明22/7？
提示：
點(diǎn)擊空白處即可查看答案
此后，數(shù)學(xué)家們陸續(xù)通過(guò)斷圓、無(wú)窮級(jí)數(shù)等方法計(jì)算出的值。1706年，英國(guó)天文學(xué)家約翰·梅欽（JohnMachen）利用格里高利-萊布尼茲級(jí)數(shù)生成的公式，能夠?qū)⒂?jì)算到小數(shù)點(diǎn)后100位。也是在這一年，威廉·瓊斯第一個(gè)在《新數(shù)學(xué)導(dǎo)論》中使用作為圓周率的唯一符號(hào)，但真正讓全世界數(shù)學(xué)家接受這個(gè)設(shè)定的卻是萊昂哈德·歐拉。1736年，歐拉開(kāi)始在他的書(shū)《力學(xué)》中使用符號(hào)“”，數(shù)學(xué)家們紛紛效仿。
《萊昂哈德·歐拉（1707-1783）》
藝術(shù)家
年
類型
收集地點(diǎn)
雅各布·伊曼紐爾·漢德曼
約1756年
油漆
德意志博物館，慕尼黑
萊昂哈德·歐拉（LeonhardEuler），現(xiàn)代數(shù)學(xué)先驅(qū)，有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一。法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾評(píng)價(jià)歐拉的貢獻(xiàn)：“讀歐拉，他是每個(gè)人的老師?！?/p>
特別是，的值為3.1415926535897.而不僅僅是無(wú)理數(shù)（也就是說(shuō)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)），同時(shí)也是一個(gè)超越數(shù)（所謂“超越數(shù)”，是指不滿足任何整系數(shù)多項(xiàng)式方程的實(shí)數(shù)的數(shù)）。之一
“超越數(shù)”一詞來(lái)自歐拉在1748年的評(píng)論：“它們超出了代數(shù)方法的范圍”。然而直到1844年，它們的存在才被法國(guó)數(shù)學(xué)家劉維爾證明。
是的，小編引入超越數(shù)就是為了發(fā)這個(gè)表情……那為什么看到的同學(xué)不轉(zhuǎn)發(fā)評(píng)論點(diǎn)贊呢？
2割圓術(shù)：優(yōu)雅地計(jì)算
說(shuō)到的計(jì)算，就不得不提著名的“割圓術(shù)”。約公元265年，數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立了割圓術(shù)，用正3072邊形計(jì)算出的數(shù)值為3.1416。之后祖沖之在公元480年利用割圓術(shù)計(jì)算正12288邊形的邊長(zhǎng)，得到圓周率約等于355/113（即密率）。在之后的八百年內(nèi)，這都是準(zhǔn)確度最高的估計(jì)值。”
圖片來(lái)源：wikipedia
祖沖之（429—500），字文遠(yuǎn)，南北朝劉宋時(shí)期數(shù)學(xué)家。祖沖之給出了圓周率的兩個(gè)小數(shù)值：22/7（“近似比”）和355/113（“密度比”）。后者精確到小數(shù)點(diǎn)后第七位。這一紀(jì)錄一直保持到一千多年后才被阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾卡西打破。
切圓的原理現(xiàn)在看起來(lái)很簡(jiǎn)單，用簡(jiǎn)單的小學(xué)數(shù)學(xué)就能演示出來(lái)。簡(jiǎn)而言之，就是把圓分成多邊形。劃分得越細(xì)，多邊形的邊數(shù)就越多，多邊形的面積就越接近圓的面積。
圖片來(lái)源：bilibili
當(dāng)然，如果從劉徽、祖沖之的時(shí)代來(lái)思考，還有一個(gè)知識(shí)點(diǎn)亟待解決，那就是圓的面積與周長(zhǎng)的關(guān)系。再用小學(xué)數(shù)學(xué)，我們得到N邊形的面積=N邊形的半周長(zhǎng)N邊形外接圓半徑。
‘N邊多邊形的面積=N邊多邊形的半周長(zhǎng)N邊多邊形的外接圓半徑’的證明
當(dāng)N極大時(shí)，其面積非常接近圓形，即圓的面積=(圓的周長(zhǎng)/2)半徑。這樣也就成功地將圓的面積與周長(zhǎng)聯(lián)系了起來(lái)。利用WolframCloud，我們可以很直觀地演示割圓術(shù)的運(yùn)算過(guò)程。（你問(wèn)為啥不直接用Mathematica？遠(yuǎn)程辦公的小編表示不卸載游戲的情況下硬盤(pán)沒(méi)有足夠的空間安裝大型軟件）
知識(shí)點(diǎn)：割圓術(shù)的迭代算法
上一篇文章只是簡(jiǎn)單介紹了圓形切割的原理，實(shí)際操作中會(huì)遇到一些小技術(shù)問(wèn)題。這里簡(jiǎn)單介紹一下圓切割的迭代算法。有興趣的同學(xué)可以用計(jì)算機(jī)模擬（有時(shí)間的同學(xué)可以像祖沖之一樣嘗試手工計(jì)算）。
如上圖所示，以O(shè)為圓心畫(huà)一個(gè)圓O，然后構(gòu)造一個(gè)正多邊形。原則上，多邊形可以有任意邊。不失一般性，這是一個(gè)正六邊形。從圓心O引出某條邊的垂直平分線OB，并連接AB為圓O的內(nèi)接正十二邊形的一條邊。OB與正六邊形的邊相交于點(diǎn)C。假設(shè)|OC|=H，|CB|=h,|OA|=R，正六邊形的邊長(zhǎng)=M，正十二邊形的邊長(zhǎng)=|AB|=米。所以有
為了計(jì)算簡(jiǎn)單，令|OA|=R=1，那么我們有
這樣我們就得到了邊長(zhǎng)的迭代公式
之前已經(jīng)論證過(guò)“N邊多邊形的面積=N邊多邊形的半周長(zhǎng)N邊多邊形的外接圓半徑”，從定義中我們知道pi是“圓的周長(zhǎng)與其直徑的比值”，因此正N邊多邊形的面積（S）、邊長(zhǎng)（m）和外接圓半徑（R）之間有
同樣令R=1，我們有
結(jié)合上面的迭代公式，顯然我們可以得到
這里，m和的下標(biāo)N表示該結(jié)果是在正N多邊形的前提下得到的。顯然，隨著邊數(shù)N的增加，得到的值也接近的真實(shí)值。
3無(wú)窮級(jí)數(shù)：更優(yōu)雅地計(jì)算
雖然利用割圓法計(jì)算圓周率的思想比較簡(jiǎn)單，但是計(jì)算起來(lái)還是比較繁瑣，尤其是以前的數(shù)學(xué)家還不能像小編一樣使用Mathematica來(lái)計(jì)算。迄今為止使用多邊形計(jì)算的最準(zhǔn)確結(jié)果是由奧地利天文學(xué)家克里斯托夫·格林伯格(ChristophGreenberg)在1630年獲得的。為此，格林伯格使用正10的40次方（即1后面有40個(gè)零）的多邊形來(lái)計(jì)算小數(shù)點(diǎn)后第38位。為此，新的想法應(yīng)運(yùn)而生。
圖片來(lái)源：wikipedia
弗朗索瓦·韋達(dá)（左）、約翰·沃利斯（中）、戈特弗里德·萊布尼茨（右）。接下來(lái)介紹的方法就來(lái)自這三位大師。
韋達(dá)的無(wú)窮乘積
圖片來(lái)源：twitter@fetedayy
套娃警告：這里不允許“禁止套娃”~
Veda給出的其實(shí)不是無(wú)窮級(jí)數(shù)，而是無(wú)窮積。人們普遍認(rèn)為，韋達(dá)的著作是歐洲最早的無(wú)窮項(xiàng)pi公式。雖然小編還沒(méi)有驗(yàn)證Veda最初是如何完成這個(gè)證明的，但是這個(gè)證明基本上可以用我們中學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)完成。證明的思想是雙角公式。
將方程兩邊同時(shí)除以x，得
這里我們需要使用一些大學(xué)內(nèi)容并使用限制
我們有
取x=/2，我們很容易得到
沃利斯乘積
沃利斯積，又稱沃利斯公式，是英國(guó)數(shù)學(xué)家約翰·沃利斯于1655年發(fā)現(xiàn)的，嚴(yán)格證明這個(gè)方程有點(diǎn)麻煩（也就是說(shuō)讀者懶得看），所以我們用歐拉（是的，又是他?。┰谔幚戆腿麪枂?wèn)題時(shí)用來(lái)證明這個(gè)方程的技術(shù)。（這里值得一提的是，歐拉“解決”巴塞爾問(wèn)題的方法現(xiàn)在看來(lái)并不完整。）
首先考慮正弦函數(shù)的麥克勞林展開(kāi)：
兩邊同時(shí)除以x得到
考慮到方程sin(x)/x=0的根位于x=…,-2,-,,2,…，我們有
設(shè)x=/2，
公式已被證明。
格雷果里-萊布尼茨公式
上面提到的兩種方法比較有名主要是因?yàn)樗鼈兲岢龅谋容^早。在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中，人們更傾向于使用上述公式。它由萊布尼茨于1674年發(fā)現(xiàn)，被稱為格里高利-萊布尼茨公式。不過(guò)，有朋友發(fā)現(xiàn)，這其實(shí)是反正切函數(shù)的MacLaughlin展開(kāi)。因?yàn)樘雒?，相信大家都已?jīng)很熟悉了，這里就不介紹公式的證明了。當(dāng)x取1時(shí)，arctan函數(shù)正好等于/4，因此比之前的算法更簡(jiǎn)單。
不過(guò)要提醒想自己計(jì)算的同學(xué)，格里高利-萊布尼茲公式雖然看起來(lái)計(jì)算簡(jiǎn)單，但它的收斂速度是非常慢，因此現(xiàn)在基本不會(huì)用此公式來(lái)計(jì)算圓周率。這里推薦一個(gè)印度傳奇數(shù)學(xué)家拉馬努金給出的公式
圖片來(lái)源：wikipedia
斯里尼瓦薩·拉馬努金，20世紀(jì)印度傳奇數(shù)學(xué)家。他從未接受過(guò)正規(guī)的數(shù)學(xué)高等教育，但他有著極其敏銳的直覺(jué)。拉馬努金經(jīng)常給出未經(jīng)證明的公式，但他的理論往往在事后被證明是正確的。數(shù)學(xué)家哈代評(píng)論拉馬努金的公式，有些公式他一開(kāi)始看不懂，但是“它們肯定是真的，因?yàn)槿绻皇堑脑挘瑳](méi)人能有足夠的想像力來(lái)發(fā)明他們?！?/strong>
彩蛋時(shí)間：一個(gè)不優(yōu)雅的反面典型
在寫(xiě)這篇文案的過(guò)程中，小編突然想起自己在人人網(wǎng)上看到過(guò)一篇介紹pi的文章，小編的一個(gè)朋友（朋友的無(wú)中生有的警告）一度信以為真。
圖片來(lái)源：reddit
小編沒(méi)找到那篇文章，不過(guò)很高興發(fā)現(xiàn)有一些歪歪扭扭的中國(guó)人在討論~
令p=確實(shí)使得=4。但是上面的證明顯然是錯(cuò)誤的。這張圖的問(wèn)題在于，考慮到圓的周長(zhǎng)本質(zhì)上是導(dǎo)數(shù)的積分，一致收斂函數(shù)的導(dǎo)數(shù)未必收斂。當(dāng)然這個(gè)問(wèn)題也可以從測(cè)度的角度來(lái)考慮，但無(wú)論是哪個(gè)角度，都不太可能在一篇文章里解釋清楚。（更何況文章寫(xiě)辣么長(zhǎng)，肯定沒(méi)人愿意讀）所以就讓我們期待明年的3月14，繼續(xù)我們的日說(shuō)吧（前提當(dāng)然是各位讀者老爺們千萬(wàn)不要取關(guān)?。?/strong>
看完今天的科普，肯定有同學(xué)會(huì)覺(jué)得自己還有東西要學(xué)。那么問(wèn)題來(lái)了，有沒(méi)有這樣一本書(shū)，既能還原科學(xué)定理的創(chuàng)造歷史，又能用簡(jiǎn)單易懂的語(yǔ)言介紹其背后的科學(xué)原理呢？
中央電視臺(tái)《加油未來(lái)》節(jié)目科學(xué)顧問(wèn)曹則賢老師傾情巨獻(xiàn)，收錄數(shù)理史上數(shù)十例絕妙證明，涉及一百八十多位名家。因材施教，激勵(lì)少年讀者循著先哲開(kāi)辟的道路前行。
相關(guān)資訊
- 河北中考考試說(shuō)明數(shù)學(xué)(河北中考數(shù)學(xué)范圍)
- 數(shù)學(xué)高考統(tǒng)計(jì)專題解題(數(shù)學(xué)高考統(tǒng)計(jì)大題)
- 期中考試數(shù)學(xué)感想300字(期中考試數(shù)學(xué)感想500字)
- 有關(guān)熱量和熱機(jī)效率的計(jì)算(熱機(jī)效率和能量利用率)
- 七年級(jí)數(shù)學(xué)課外活動(dòng)，七年級(jí)數(shù)學(xué)課外活動(dòng)計(jì)劃
- 理科男子(典型理科男)
- 學(xué)習(xí)方法報(bào)數(shù)學(xué)周刊答案七年級(jí)，數(shù)學(xué)方法報(bào)數(shù)學(xué)周刊七年級(jí)
- 沈陽(yáng)中考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)占比(沈陽(yáng)中考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié))