用牛頓切線法解方程fx=0(用牛頓切線法求方程f(x)=0)

這次老黃將分享如何使用牛頓正切法求解包含反三角函數(shù)的奇函數(shù)方程。牛頓切線法在《老黃學(xué)高等數(shù)學(xué)》系列視頻第211講中有詳細(xì)介紹。具體步驟分為三步：（1）確定根的大致位置；(2)用點序列{xn}來近似方程的根；(3)檢驗近似根的絕對誤差。在實際操作中，會有調(diào)整。

求方程x-2arctanx=0的根的近似值，精確到0.001.

分析：在解題過程中為了方便描述，我們先記住函數(shù)f(x)=x-2arctanx。并發(fā)現(xiàn)這是一個連續(xù)的奇函數(shù)。連續(xù)奇函數(shù)必須經(jīng)過原點，即f(0)=0。可知x=0是原方程的根。另外，奇函數(shù)的性質(zhì)決定了方程要么沒有其他根。如果是，則必須有偶數(shù)個根（0除外）。并且它們以相反數(shù)字的形式成對出現(xiàn)。我們只需要找到正或負(fù)區(qū)間的所有根，然后就可以得到另一半?yún)^(qū)間的所有根，從而得到整個方程的所有實根。

為了確定根的大概位置，為求點序列{xn}做準(zhǔn)備，一般先求f(x)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)。

由f(x)=(x^2-1)/(1+x^2)可以看出，函數(shù)有兩個穩(wěn)定點x=1和x=-1。

由f'(x)=4x/(1+x^2)^2可知f'(1)0，f'(-1)0。即x=-1為函數(shù)的最大值點，x=1為函數(shù)的最小值點。這里最大值f(-1)0和最小值f(1)0表示開區(qū)間(-1,1)上有一個方程的根，但是我們已經(jīng)確定了這個根，它是x=0。

并且當(dāng)x趨于負(fù)無窮大時，f(x)小于0。當(dāng)x趨于正無窮大時，f(x)大于0。這里省略求極限的具體過程。

由此可知，方程有三個根，記作102。還確定了它們的大小關(guān)系，指定1為負(fù)根，2為正根。他們是彼此對立的。只要問一個，另一個就確定了。接下來選擇求正根。

因為f(2)=2-2arctan2-0.2140，f(3)=3-2arctan30.5020，所以2在開區(qū)間(2,3)內(nèi)。這里你仍然需要使用計算器來找到正確函數(shù)的反函數(shù)。不要說“你為什么不直接用計算器來求方程的根”，除非你真的能做到。

總結(jié)一下：牛頓切線法第一步，確定根的大致位置的一般步驟是：求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)；使用一階導(dǎo)數(shù)確定穩(wěn)定點；利用二階導(dǎo)數(shù)確定極值點；根據(jù)極值，以及函數(shù)趨于無窮大的符號性質(zhì)，確定根的個數(shù)；測試函數(shù)在根附近的點的符號屬性；確定根的大致位置。

那么開始第二步，首先明確根所在區(qū)間的單調(diào)性和凸性。顯然，這個函數(shù)在(2,3)上。一階導(dǎo)數(shù)大于0并且單調(diào)遞增。二階導(dǎo)數(shù)也大于0并且向下凸。屬于牛頓切線法求點序列的第二種情況，如下圖：（注意這個圖像不是f(x)圖像的一部分）

在這種情況下，從右側(cè)開始尋找點。即從點(3,0.502)出發(fā)，畫曲線切線與x軸相交于點x1，發(fā)現(xiàn)x1約等于2.373。第一點通常不滿足精度要求。

只要繼續(xù)從x點作切線與x軸相交于x2點，就會發(fā)現(xiàn)x2約等于2.331。一般情況下，該點可以滿足精度要求。此時，您有兩個選擇。

按照老黃提供的方法，重復(fù)上述步驟，繼續(xù)尋找點x3，發(fā)現(xiàn)x3約等于2.331。顯然，2.331是精確到0.001的方程的近似根。

根據(jù)牛頓正切法的一般步驟，第三步是檢查x2或x3的誤差是否滿足精度要求。就是求[2,3]上的導(dǎo)數(shù)f(x)的最小值，結(jié)果約為0.6。然后將x2的函數(shù)值的絕對值除以這個最小值，得到的結(jié)果約等于0.，遠(yuǎn)小于0.001。表明x2的誤差滿足精度要求。因此2.331是方程最接近0.001的近似根。

有兩種方法，你喜歡哪一種就用哪一種。老黃自然更喜歡用自己的方法。但你應(yīng)該更相信牛頓切線法的權(quán)威。

寫到這里，老黃突然發(fā)現(xiàn)自己的方法不準(zhǔn)確。老黃決定以后放棄這種方法。老黃之所以沒有放棄這篇文章。我想告訴大家，做數(shù)學(xué)研究的時候，感到尷尬是很正常的。哪里有錯誤，哪里就有真理。至于為什么老黃的方法不嚴(yán)謹(jǐn)，是因為x1和x2的差異可能很小，但x2和x3的差異可能會變大。

最后，由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，方程的另一個近似值為-2.331。

函數(shù)f(x)的圖像如下所示。

最后以圖片的形式展示整個問題的解決過程如下：

多找?guī)讉€問題練習(xí)一下，你一定會喜歡這種求方程近似根的方法。