微分方程對稱性的用法(對稱式微分方程)
6.5對稱矩陣，實(shí)特征值，正交特征向量
對稱矩陣、實(shí)特征值、正交特征向量
MIT公開課《微分方程和線性代數(shù)》6.5對稱矩陣、實(shí)特征值和正交特征向量v.youku.com/v_show/id_XMTY5MDY3MzQyMA==.html線性微分方程中會遇到對稱矩陣rame'tabindex='0'style='font-尺寸：100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='ST=S'role='presentation'ST=S\boldsymbol{S}^T=\boldsymbol{S}，對稱矩陣的特征值和特征向量有特殊的性質(zhì)，即特征值是實(shí)數(shù)，特征向量彼此正交。
相比之下，反對稱矩陣rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='AT=#x2212;A'role='表示的特征值'AT=A\boldsymbol{A}^T=-\boldsymbol{A}是純虛數(shù)，特征向量也是彼此正交，但它們包含復(fù)數(shù)元素，即使反對稱矩陣的元素都是實(shí)數(shù)，它的特征向量也是復(fù)數(shù)。
對于rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='QTQ=I'role='presentation'QTQ=I\boldsymbol{Q的正交矩陣Q}^T\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{I}，其所有特征值的模長度rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='|#x03BB;|=1'角色='演示'||=1\[\left|\lambda\right|=1\]，特征向量也是復(fù)數(shù)，并且相互正交。
示例：rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='S=[3113]'角色='演示'S=[3113]\[\boldsymbol{S}=\left[\begin{matrix}31\\13\\\end{matrix}\right]\]，rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='A=[0-110]'角色='演示'A=[0-110]\[\boldsymbol{A}=\left[\begin{matrix}0\text{-}1\\10\\\end{matrix}\right]\]，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='B=[3#x2212;113]'角色='演示'B=[3113]\[\boldsymbol{B}=\left[\begin{matrix}3-1\\13\\\end{matrix}\right]\]，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='Q=12[1#x2212;111]'角色='演示'Q=12[1111]\[\boldsymbol{Q}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{matrix}1-1\\11\\\end{matrix}\right]\]。
對稱矩陣S的特征值為rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='#x03BB;1=2,#x03BB;2=4'角色='演示'1=2,2=4\lambda_1=2,\lambda_2=4。特征向量為ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='x1=[1#x2212;1]'角色='演示'x1=[11]{\bold{x}_{1}}=\left[\begin{matrix}1\\-1\\\end{matrix}\right],rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='x2=[11]'角色='演示'x2=[11]{\bold{x}_{2}}=\left[\begin{matrix}1\\1\\\end{矩陣}\right]。
反對稱矩陣A的特征值為rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03BB;1=i,#x03BB;2=#x2212;i'角色='演示'1=i,2=i\lambda_1=i,\lambda_2=-i。特征向量為ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='x1=[1#x2212;i]'角色='演示'x1=[1i]{\bold{x}_{1}}=\left[\begin{matrix}1\\-i\\\end{matrix}\right],rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='x2=[1i]'角色='演示'x2=[1i]{\bold{x}_{2}}=\left[\begin{matrix}1\\i\\\end{矩陣}\right]。
矩陣B=A+3I的特征值分別為'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03BB;1=3+i,#x03BB;2=3#x2212;i'角色='演示'1=3+i,2=3i\lambda_1=3+i,\lambda_2=3-i。特征向量為ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='x1=[1#x2212;i]'角色='演示'x1=[1i]{\bold{x}_{1}}=\left[\begin{matrix}1\\-i\\\end{matrix}\right],rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='x2=[1i]'角色='演示'x2=[1i]{\bold{x}_{2}}=\left[\begin{matrix}1\\i\\\end{矩陣}\right]。
如果有復(fù)數(shù)、復(fù)向量、復(fù)矩陣則'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='a+ib'role='presentation'a+ib\[a+ib\]，則其模為rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='|#x03BB;|=#x03BB;#x03BB;#x00AF;=a2+b2'角色='演示'||==a2+b2\[\left|\lambda\right|=\sqrt{\lambda\bar{\lambda}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{^{2}}}\]，其中rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03BB;#x00AF;=a#x2212;ib'role='presentation'ˉ=aib\[\bar{\lambda}=a-ib\]是的共軛復(fù)數(shù)。
對于復(fù)數(shù)向量x#x00AF;Tx'role='presentation'‖x‖2=xˉTx\[{{\left\|\bold{x}\right\|}^{2}}={\bold{\bar{x}}}^{T}\bold{x}\]。例如rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='x=[1i]'角色='演示'x=[1i]\[\bold{x}=\left[\begin{matrix}1\\i\\\end{matrix}\right]\]，其長度為'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x2016;x#x2016;2=[1#x2212;i][1i]=2'角色='演示'‖x‖2=[1i][1i]=2\[{{\左\|\bold{x}\right\|}^{2}}=\left[\begin{matrix}1-i\\\end{矩陣}\right]\left[\begin{matrix}1\\i\\\end{矩陣}\right]=2\]。復(fù)向量的正交性由rame'tabindex='0'style='font-size:100%確定；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='x#x00AF;Ty=0'role='presentation'xˉTy=0\bold{\bar{x}}^T\bold{y}=0來確定。
對于實(shí)矩陣，我們尋找對稱矩陣rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='ST=S'角色='演示'ST=S\boldsymbol{S}^T=\boldsymbol{S}.對于復(fù)雜矩陣，查找埃爾米特矩陣ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='S#x00AF;T=S'role='presentation'SˉT=S\boldsymbol{\bar{S}}^{T}=\boldsymbol{S}，不僅取轉(zhuǎn)置，還取共軛矩陣中元素的個數(shù)，例如矩陣rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='[1i#x2212;i2]'角色='演示'[1ii2]\[\left[\begin{matrix}1i\\-i2\\\end{matrix}\right]\]是埃爾米特矩陣。矩陣的轉(zhuǎn)置和共軛也寫為rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='SH=S#x00AF;T'角色='演示'SH=T\boldsymbol{S}^{H}=\boldsymbol{\bar{S}}^{T}。
6.5b二階常微分方程組
二階系統(tǒng)
優(yōu)酷視頻v.youku.com/v_show/id_XMTY5MDY3NTkwMA==.html本講座介紹二階常微分方程組rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='y#x2033;+Sy=0'角色='演示'y+Sy=0\[\bold{y}+\boldsymbol{S}\bold{y}=0\].其中S是滿足rame'tabindex='0'style='font-size:100%的對稱矩陣；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='ST=S'角色='演示'ST=S\boldsymbol{S}^T=\boldsymbol{S}.方程中沒有阻尼項(xiàng)，等號右邊也沒有外力項(xiàng)，所以要求解的函數(shù)就是與初值匹配的零解。
例如振蕩方程rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='My#x2033;+Ky=0'角色='演示'My+Ky=0\[\boldsymbol{M}\bold{y}+\boldsymbol{K}\bold{y}=0\]，其中M是質(zhì)量矩陣，K是剛度矩陣。在實(shí)際應(yīng)用中，第一步是建立方程，即確定這些參數(shù)矩陣。
您正在尋找的解決方案函數(shù)的形式為rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='y=ei#x03C9;tx'角色='演示'y=eitx\[\bold{y}={{e}^{i\omegat}}\bold{x}\],把代入原方程可得rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='M(i#x03C9;)2ei#x03C9;ty+Kei#x03C9;tx=0'角色='演示'M(i)2eity+Keitx=0\[\boldsymbol{M}{{(i\omega)}^{2}}{{e}^{i\omegat}}\bold{y}+\boldsymbol{K}{{e}^{i\omegat}}\bold{x}=0\]，排序后可以得到rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='Kx=M#x03C9;2x'角色='演示'Kx=M2x\[\boldsymbol{K}\bold{x}=\boldsymbol{M}{{\omega}^{2}}\bold{x}\]，這就變成了特征值和特征向量的問題。這是一個涉及兩個矩陣的問題?？梢杂肕ATLAB中的eig(K,M)命令求解。事實(shí)上，在大多數(shù)實(shí)際情況下，質(zhì)量矩陣M是常數(shù)乘以單位矩陣cI。
對于二階常微分方程組rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='y#x2033;+Sy=0'role='presentation'y+Sy=0\[\bold{y}+\boldsymbol{S}\bold{y}=0\]，通常是給定的初始值包括y(0)和y(0)，這兩個向量包含2n個初始值，因此需要2n個解函數(shù)來匹配它們。
例子：
二階微分方程組\rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='My#x2033;+Ky=0'角色='演示'My+Ky=0\[\boldsymbol{M}\bold{y}+\boldsymbol{K}\bold{y}=0\]描述了三個重物的運(yùn)動，因此方程數(shù)為n=3。彈簧配重組中的三個配重通過彈簧相互連接并與上、下固定表面連接。假設(shè)三個重物質(zhì)量相同，則M=mI。方程組的解就是重物的運(yùn)動軌跡，即位移隨時間的變化。等式右邊為零，表示運(yùn)動過程中沒有外力項(xiàng)向彈簧配重組注入新的能量。物體的運(yùn)動方式是純簡諧振動，但這些振動是相互耦合的。
剛度矩陣ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='K=k[2#x2212;10#x2212;12#x2212;10#x2212;12]'角色='演示'K=k[210121012]\[\boldsymbol{K}=k\left[\begin{matrix}2-10\\-12-1\\0-12\\\end{matrix}\right]\]，讓rame'tabindex='0'樣式='字體大?。?00%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='S=Km'角色='演示'S=Km\[\boldsymbol{S}=\frac{\boldsymbol{K}}{m}\]然后rame'tabindex='0'style='font-尺寸：100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='Kx=M#x03C9;2x'角色='演示'Kx=M2x\[\boldsymbol{K}\bold{x}=\boldsymbol{M}{{\omega}^{2}}\粗體{x}\]變?yōu)閞ame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='Sx=#x03C9;2x=#x03BB;x'角色='演示'Sx=2x=x\[\boldsymbol{S}\bold{x}={{\omega}^{2}}\bold{x}=\lambda\bold{x}\]。
剛度矩陣中的參數(shù)來自彈簧高于和低于重量的伸長率。例如，重物1由上下兩個彈簧作用。上彈簧的力量為ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='ky1'role='presentation'ky1ky_1，下方彈簧力為rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x2212;k(y2#x2212;y1)'role='presentation'k(y2y1)-k(y_2-y_1)，然后Helirame'tabindex='0'style='font-尺寸：100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='k(2y2#x2212;y1)'角色='演示'k(2y2y1)k(2y_2-y_1)。其他兩組也同樣推導(dǎo)。解函數(shù)為rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='y=A1(cos#x2061;#x03C9;1t)x1+B1(sin#x2061;#x03C9;1t)x1+#x22EF;'角色='演示'y=A1(cos1t)x1+B1(sin1t)x1+\bold{y}={{A}_{1}}(\cos{{\omega}_{1}}t){\bold{x}_{1}}+{{B}_{1}}(\sin{{\omega}_{1}}t){\bold{x}_{1}}+\cdots是六個解的線性組合。
代入t=0，我們可以看到解函數(shù)中余弦函數(shù)的三個參數(shù)A與初始值y(0)匹配，而正弦函數(shù)的三個參數(shù)B與y(0)匹配。
例子：
rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='y#x2033;+km[2#x2212;1#x2212;12]y=0'角色='演示'y+km[2112]y=0\[\bold{y}+\frac{k}{m}\left[\begin{matrix}2-1\\-12\\\end{matrix}\right]\bold{y}=0\]。
該方程描述了由兩個質(zhì)量為m的配重組成的彈簧配重組。矩陣RAM'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='S=km[2#x2212;1#x2212;12]'角色='演示'S=km[2112]\[\boldsymbol{S}=\frac{k}{m}\left[\begin{matrix}2-1\\-12\\\end{matrix}\right]\]特征值為rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03BB;1=1#x00D7;km#xFF0C;#x03BB;2=3#x00D7;km'角色='演示'，1=1km，2=3km\lambda_1=1\times\frac{k}{m}，\lambda_2=3\times\frac{k}{m}。
如果給定的初值狀態(tài)是在時間t=0時，并且將兩個權(quán)重m1和m2設(shè)置在特定位置，則初值中給出初始位移，但初速度為0，即y(0)=0，所以可以看出求解函數(shù)中的兩個參數(shù)B都為0。則求解函數(shù)為rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='y(t)=A1(cos#x2061;kmt)[11]+A2(cos#x2061;3kmt)[1#x2212;1]'角色='演示'y(t)=A1(coskmt)[11]+A2(cos3kmt)[11]\[\bold{y}(t)={{A}_{1}}(\cos\sqrt{\frac{k}{m}}t)\left[\begin{matrix}1\\1\\\end{matrix}\right]+{{A}_{2}}(\cos\sqrt{\frac{3k}{m}}t)\left[\begin{matrix}1\\-1\\\end{matrix}\right]\]，其中參數(shù)由初始位移y(0)控制。從解函數(shù)中的兩個特征向量可以看出，有兩種基本的運(yùn)動模式。一種是兩個物體同相振動（m1和m2同相振動），對應(yīng)于解函數(shù)中的第一項(xiàng)。第二個是往復(fù)運(yùn)動，對應(yīng)解函數(shù)中的第二項(xiàng)，第二項(xiàng)的運(yùn)動頻率較高。重物的運(yùn)動模式是低頻同向運(yùn)動和高頻往復(fù)運(yùn)動的結(jié)合。如果是由三個配重組成的彈簧配重組，則是三種運(yùn)動方式的疊加。