2013年四川高考數(shù)學(xué)答案解析(2013年四川高考數(shù)學(xué)試卷)

原標(biāo)題：2013年四川高考數(shù)學(xué)真題、橢圓綜合題，不難但計算量很大

大家好！本文與大家分享一道2013年四川高考理數(shù)真題。這道題是第20題，是整卷的倒數(shù)第二題，滿分13分。這題考的是橢圓的定義、橢圓的基本性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等?？傮w來說，這題不難，但第二題需要大量計算。

我們先看第一個問題：求橢圓的偏心率。

要求橢圓的偏心率，只需求出a和c的值即可。由于橢圓的左右焦點坐標(biāo)分別為(-1,0)和(1,0)，所以c=1。那么接下來我們只需要求a的值就可以了。

根據(jù)橢圓第一定義可知，橢圓上的點P到橢圓左右焦點的距離之和等于2a，則點P到F1、F2的距離可得使用兩點之間的距離公式計算。這樣就可以得到a的值了。

很多學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中并不注重定義，因此不會想到直接利用定義來求a的值。那么也可以使用下面的方法來解決。

同理，先得到c=1，根據(jù)橢圓中a、b、c的關(guān)系可以得到a^2-b^2=1。P點在橢圓上，因此將P點的坐標(biāo)代入橢圓方程，可以得到關(guān)于a和b的方程組。通過求解方程組，可以得到a的值。這里需要注意的是a只取正數(shù)。

我們看第二個問題：求Q點的軌跡方程。

求軌跡方程就是求點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的關(guān)系。我們直接設(shè)Q(x,y)，從第一題就可以得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

從題意可知，點Q在直線l上，且直線l與橢圓相交，所以可以先建立直線l的方程，然后結(jié)合直線的方程將直線l和橢圓消去x或y，這樣就可以得到一個關(guān)于y或x的單變量的二次方程，然后利用吠陀定理求出M點和N點的橫縱坐標(biāo)關(guān)系。

需要注意的是，在建立直線方程時，大多數(shù)同學(xué)更習(xí)慣使用斜截方程，所以此時就需要討論直線l的斜率是否存在。

當(dāng)斜率不存在時，直線l的方程為x=0。這種情況很簡單，直接就可以得到Q點的坐標(biāo)。

當(dāng)斜率存在時，直線l的方程可設(shè)為y=kx+2。

接下來，我們用兩點之間的距離公式分別表示|AQ|^2、|AM|^2、|AN|^2，然后代入關(guān)系方程進行化簡，得到x之間的關(guān)系，x1和x2，然后用吠陀定理得到的x1和x2之間的關(guān)系代入，就成為x相對于k的表達式。由于Q點在直線l上，則y=kx+2，則k=(y-2)/x，代入上式即可得到軌跡方程。

特別要注意的是，找到軌跡方程的表達式后，還必須找到x和y的取值范圍，否則就會失分。

另外，在設(shè)定直線l的方程時，由于點A(0,2)，結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，直線l的斜率一定不為0，所以我們可以改變方程形式，即令直線l的方程為x=my-2m。

該方程形式與斜截形式最大的區(qū)別在于，斜截形式不能表示不存在斜率的直線，而該方程形式可以表示不存在斜率的直線，但它不能表示斜率為零的直線。在這道題中，如果采用后一種形式，就可以避免分類討論的麻煩。

這道題難度算中等，但是計算量很大。很多同學(xué)的想法沒有問題，但是計算卻出現(xiàn)了錯誤，這是很遺憾的。返回搜狐查看更多

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