三角形內(nèi)心垂心五心(三角形垂心有什么性質(zhì)越多越好,急用)

三角形的奇跡首先體現(xiàn)在每個(gè)“心”上：三角形內(nèi)部的每組幾何線都相交于一點(diǎn)。當(dāng)三個(gè)角平分線相交于一點(diǎn)時(shí)，這一點(diǎn)稱(chēng)為三角形的“內(nèi)心”，即三角形的內(nèi)切圓的圓心；當(dāng)三條邊的垂線相交于一點(diǎn)時(shí)，這一點(diǎn)稱(chēng)為三角形的“圓心”，即三角形的外接圓的圓心；三角形的三條中線也相交于一點(diǎn)。該點(diǎn)稱(chēng)為三角形的“重心”，因?yàn)樗_實(shí)是三角形的重心。利用機(jī)械方法可以快速推導(dǎo)出它位于各中心線的三等分點(diǎn)處。這些愛(ài)心將在本文后面的某個(gè)意想不到的地方重新出現(xiàn)。

我們之前的文章介紹了三角形的外心。有興趣的讀者可以在這里回顧一下：

三角形的五個(gè)中心之一：平行中心和性質(zhì)簡(jiǎn)介

三角形的三個(gè)高也不例外。它們也相交于一點(diǎn)。該點(diǎn)稱(chēng)為三角形的垂直中心。

吹心看似不起眼，但深入研究后，會(huì)浮現(xiàn)出許多奇妙的結(jié)論。由于兩個(gè)斜邊重疊的直角三角形會(huì)產(chǎn)生四個(gè)共圓點(diǎn)，畫(huà)出三角形的三個(gè)高后，就會(huì)出現(xiàn)大量的四個(gè)共圓點(diǎn)，就會(huì)出土一系列漂亮的結(jié)論。讓我們從一個(gè)簡(jiǎn)單直接的結(jié)論開(kāi)始：

定理：若D、E、F為ABC三邊高的豎腿，則1=2。

證明：由于AFC=ADC=90，A、C、D、F四點(diǎn)共圓，故1=180CDF=A。同理，由A、B、D、E四點(diǎn)共圓可知2=A。因此1=2。

如果將三條邊垂直構(gòu)成的三角形稱(chēng)為“垂直邊三角形”，我們就會(huì)有以下聽(tīng)起來(lái)很酷的推論：

推論：三角形的垂線是其垂直三角形的內(nèi)心。

證明：因?yàn)锳D垂直于BC，而我們剛剛證明了1=2，因此3=4，即HD平分EDF。同理，HE和HF都是DEF的內(nèi)角平分線，所以H是DEF的圓心。

另一個(gè)有趣的推論如下：

推論：將ABC沿AC折疊到AB'C，假設(shè)EF折疊到EF'，則EF'和DE共線。

證明：由上圖中1=2直接推導(dǎo)出來(lái)。

1775年，法尼亞諾曾提出如下問(wèn)題：給定銳角三角形ABC，什么樣的內(nèi)接三角形的周長(zhǎng)最短。這個(gè)問(wèn)題被稱(chēng)為“法尼亞諾問(wèn)題”。法尼亞諾自己給出了答案：周長(zhǎng)最短的內(nèi)接三角形就是整形三角形。下面我們來(lái)證明這個(gè)結(jié)論。

定理：在ABC的所有內(nèi)切三角形中，整形三角形DEF的周長(zhǎng)最短。

證明：如上圖所示，將三角形對(duì)折五次，得到折線段DEF1D2E2F3D4。該多段線段的總長(zhǎng)度等于內(nèi)接三角形DEF周長(zhǎng)的兩倍。注意，從前面提到的垂直三角形的性質(zhì)可以看出，這條折線段恰好形成了一條直線段。另外，注意這樣折疊后，BC和B2C2平行且相等，D和D4位于兩條線段上的同一位置。因此，從D到D4的折線段的總長(zhǎng)度是最短直線段DD4。這表明垂直三角形DEF的周長(zhǎng)最短。

不過(guò)，這還不夠震撼，吹心還有很多能力。圓的四個(gè)點(diǎn)也將給出其他相等的角度。

定理：若D、E、F為ABC三邊高的豎腿，則1=2。

證明：由于BFH=BDH=90，所以B、F、H、D四點(diǎn)共圓，所以1=180FHD=2。

這給我們帶來(lái)了以下非常巧妙的推論。

推論：將ABC的垂直中心H沿BC邊折到H'，則H'在ABC的外接圓上。

證明：由于H和H’沿BC軸對(duì)稱(chēng)，所以H’=1。前面已經(jīng)證明了，1=2。因此，H’=2。H’和2都是AC所對(duì)的角。它們相等意味著A、C、H'和B是共圓的四個(gè)點(diǎn)。

如果用另一種方式來(lái)描述，這個(gè)結(jié)論可能會(huì)更酷：

推論：將ABC的垂直中心H沿三邊分別折為H1、H2、H3，則A、B、C、H1、H2、H3為圓內(nèi)的六個(gè)點(diǎn)。

證明：由前面的結(jié)論可以直接得到。

另一個(gè)更對(duì)稱(chēng)、更漂亮的結(jié)論如下：

推論：若D、E、F為ABC三邊高的垂直英尺，H為垂直中心，則AH·DH=BH·EH=CH·FH。

證明：作ABC的外接圓，然后延伸HD、HE、HF。它們與外接圓的交點(diǎn)分別記為H1、H2和H3。前面的結(jié)論告訴我們HH1=2HD，HH2=2HE，HH3=2HF。相交弦定理（或者圓冪定理，可以通過(guò)相似性快速證明）告訴我們AH·HH1=BH·HH2=CH·HH3。同時(shí)將每個(gè)等量除以2，得AH·DH=BH·EH=CH·FH。

我們來(lái)看另一個(gè)與外接圓相關(guān)的定理。

定理：若D、E、F為ABC三邊高的垂直英尺，則H為垂直中心。過(guò)C作BC垂線，與ABC的外接圓交于G點(diǎn)，則CG=AH。

證明：我們將證明四邊形AHCG的兩條對(duì)邊平行，從而證明它是平行四邊形。注意CG和AD都垂直于BC，所以CG和AD是平行的。由于BCG是直角，這意味著B(niǎo)G是圓的直徑，這意味著B(niǎo)AG也是直角，即GA垂直于AB。并且CF也垂直于AB，所以AG平行于CF。因此四邊形AHCG是平行四邊形，CG=AH。

它還可以引出一個(gè)更漂亮的推論：

推論：若H為ABC的垂直中心，O為ABC的外心，則O到BC的垂直線段OM平行于AH，且為AH長(zhǎng)度的一半。

證明：前面我們證明了上圖中的CG和AH平行且相等。注意BG為外接圓的直徑，BG的中點(diǎn)為圓心，即ABC的外心O。垂直線段OM是BCG的中線，它平行且等于CG的一半，因此也平行且等于AH的一半。

好吧，下面你將看到的是初等幾何的寶藏：

推論：三角形的垂心、重心、外心共線，重心位于垂心與外心連線的三等分點(diǎn)。

證明：設(shè)X為AM與HO的交點(diǎn)。剛才我們證明了AH與OM平行，它們的長(zhǎng)度之比為2:1，因此，AHX和MOX相似，相似比為2:1?？梢?jiàn)HX:XO=2:1，即X位于線段HO的三等分點(diǎn)處。另外，AX:XM=2:1，表示X位于三角形中線AM的2:1處。這說(shuō)明X就是三角形的重心！

給定一個(gè)任意三角形，它的三點(diǎn)：重心、重心和外心共線，重心將重心和外心的連線分為1:2兩段。這個(gè)奇妙的結(jié)論是偉大的數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)的，它是眾多“歐拉定理”之一。

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