已知三角形三邊求面積(已知三角形三邊求角度)
從三角形的穩(wěn)定性我們知道，三角形的三邊確定后，它的形狀也就確定了。那么，已知三角形三邊長，如何計(jì)算三角形三個(gè)內(nèi)角的尺寸呢？
對于這個(gè)問題，可以說前人已經(jīng)做好了準(zhǔn)備。首先，我們將介紹沒有公式和函數(shù)表的行進(jìn)三角學(xué)。第二單元將討論該問題的常見解決方案。
大大簡化的行軍三角學(xué)
《趣味幾何學(xué)》第5章：沒有公式和函數(shù)表的行進(jìn)三角函數(shù)。
本章以極其簡化的形式介紹了三角學(xué)。首先簡單介紹了正弦函數(shù)的概念，然后討論了如何自己編寫正弦函數(shù)表。當(dāng)然，由于是簡化三角學(xué)，所以這張表給出了0到90之間每1度的角度的正弦值，精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位。
由于代數(shù)課本上講授的平方根法很容易忘記，貝萊曼推出了一種易于理解和掌握的平方根法。
接下來介紹一種基于已知正弦值求角度的近似方法。就這樣，貝利曼完成了所有的準(zhǔn)備工作?，F(xiàn)在我們可以求出角度的正弦值，以及由正弦值得出的角度，其精度符合簡化三角學(xué)的要求。
當(dāng)你在鄉(xiāng)村旅行，沒有三角函數(shù)表，忘記了三角函數(shù)公式時(shí)，這個(gè)簡化的三角函數(shù)就非常有用了。它可以以2%的精度計(jì)算三角形的邊長，以1的精度計(jì)算三角形的內(nèi)角。例如，羅賓遜可以使用這種簡化的三角學(xué)來解決荒島上的許多問題。
這個(gè)簡化的三角學(xué)僅使用正弦函數(shù)。這夠了嗎？關(guān)于這個(gè)問題，作者用了5個(gè)例子來證明，只知道正弦函數(shù)就完全足夠了。選定的示例問題：三角形面積
[提問]在旅途中，我們用腳步量了一個(gè)三角形的三邊長。分別是43級、60級和54級。這個(gè)三角形的三個(gè)角各有多少度？
問題背景
書名來自蘇聯(lián)科普作家貝萊利曼的經(jīng)典著作《趣味幾何學(xué)》。
【解】這個(gè)從三邊解三角形的問題是解三角形中最復(fù)雜的情況。但我們還有一種方法可以解決這個(gè)問題，無需使用除正弦之外的任何其他三角函數(shù)。
畫出三角形最長邊AC的高BD（圖96），可得：
BD=43-AD,
BD=54-DC，
由上面兩個(gè)方程我們得到：
43-AD=54-DC，
DC-AD=54-43=1070。
但
DC-AD=(DC+AD)(DC-AD)
=60(直流-AD)。
所以
60(直流-AD)=1070,
直流-AD=17.8。
從DC-AD=17.8，
直流+AD=60，
得：2DC=77.8，
即DC=38.9。
現(xiàn)在計(jì)算三角形的高度并不困難：
BD=(54-38.9)=37.4,
從這里可以找到：
SinA=BD:AB=37.4:43=0.87，
A60。
sinC=BD:BC=37.4:54=0.69，
C44。
第三個(gè)角
B=180-(A+C)=76。
如果我們現(xiàn)在用學(xué)校三角課本上教給我們的方法，用函數(shù)表來解決這個(gè)問題，那么我們立刻就能得到每個(gè)角度的度數(shù)，精確到幾分鐘幾秒。但我們可以斷定，這幾秒一定是錯(cuò)誤的，因?yàn)橛媚_測量的三角形邊長至少會(huì)有2%到3%的誤差。因此，我們不必欺騙自己；我們必須將獲得的角度的“精確”值轉(zhuǎn)換為至少一個(gè)整數(shù)度數(shù)。那么我們得到的答案將和我們簡化時(shí)一樣。所以，在這種情況下，我們的“行進(jìn)三角法”確實(shí)非常實(shí)用。
普通方法解答例題三角形地區(qū)
總體思路是利用余弦定律來解決問題。我們先看一下公式：
上圖是余弦定理的基本公式。雖然公式是三個(gè)，但是寫完一個(gè)之后，通過循環(huán)代入就可以得到另外兩個(gè)。
當(dāng)我們要求邊緣時(shí)，有變體1：
如果您需要角度，有兩種變體：
求角度的變化1
還有另一種變體：
求角度的變式2
還有一些關(guān)于特殊角落的提示：
角點(diǎn)轉(zhuǎn)換的幾種特殊情況
余弦定理還有角元形式：
余弦定理還有另一個(gè)有用的變體：
請參閱下圖來查找區(qū)域：
現(xiàn)在回到示例問題的三角形區(qū)域，我們使用余弦定理的變體2來求角度。
接下來，我們首先求角度A，直接套用公式，我們可以得到：
使用MicrosoftMath計(jì)算反三角函數(shù)
上圖中計(jì)算出的角度A的度數(shù)為弧度。我們將其轉(zhuǎn)換為角度：
弧度180=角度
1.
=60.
=60.6
順便說一句，已知角度轉(zhuǎn)換為弧度的公式是：弧度=角度180
接下來繼續(xù)找角B。
同樣可以說，
角度B（弧度）
將弧度轉(zhuǎn)換為角度：
那么，C角也知道：
C=180-(60.6+75.5)=43.9
還有一個(gè)問題。如果出題的老師把問題從已知的三個(gè)邊改成已知的兩個(gè)邊和角度，還會(huì)做嗎？
很簡單，看下圖：
特別收錄
資料來自張敬中老師的科普書。
對于僅使用正弦函數(shù)的簡化三角函數(shù)，下表最合適。
總結(jié)和感想
《趣味幾何學(xué)》是蘇聯(lián)著名科普作家貝萊利曼的100多部作品之一。
本書不僅是為數(shù)學(xué)愛好者而寫的，也是為尚未發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中許多迷人事物的讀者而寫的。
許多讀者在學(xué)校學(xué)習(xí)過幾何（或目前正在學(xué)習(xí)幾何），但不習(xí)慣關(guān)注我們周圍世界中常見的幾何關(guān)系。沒有實(shí)際應(yīng)用幾何知識。當(dāng)生活中遇到困難時(shí)，郊游、露營時(shí)，我不知道如何運(yùn)用所學(xué)的幾何知識。
激發(fā)讀者對幾何的興趣，或者用作者的話說：“激發(fā)學(xué)習(xí)它的欲望，培養(yǎng)學(xué)習(xí)它的愛好，是本書的主要任務(wù)。”
為此，作者帶領(lǐng)幾何走出學(xué)校教室的圍墻，走出科學(xué)的圍困，走向戶外，走向樹林，走向田野，走向河流，走向道路，擺脫課本和函數(shù)表，并且不受約束。實(shí)地做幾何作業(yè)，用幾何知識重新認(rèn)識美麗的世界……
例如，沒有公式的行進(jìn)幾何就是函數(shù)表。很多學(xué)生被課本上幾十個(gè)三角函數(shù)公式嚇倒，但簡化三角函數(shù)不需要公式和函數(shù)表，僅用正弦函數(shù)就可以解決很多實(shí)際問題，而且精度滿足行進(jìn)三角函數(shù)的要求。
例如，在本文提到的三已知邊的三角問題中，常見的思路是利用余弦定理來解決問題。作者堅(jiān)信行進(jìn)三角函數(shù)的存在，因此只用正弦函數(shù)就可以解決問題。而且，看整本書，我其實(shí)并沒有用到正弦定理。我覺得用了就不算犯規(guī)。
在這里，你還可以感受到信仰的力量。因?yàn)槟阆嘈?，所以你看見。因此，您可以超越傳統(tǒng)思維的局限性，僅使用正弦函數(shù)就能看到美妙的解決方案。
作者的精彩解答包括正弦函數(shù)的概念、畢達(dá)哥拉斯定理、平方差的公式、方程組、小學(xué)數(shù)學(xué)中的和差問題等知識點(diǎn)。這些知識點(diǎn)并不難，但作者的綜合手法和靈活應(yīng)用令人驚嘆。
這背后有一個(gè)原則：熟能生巧。熟練不僅可以做到完美，還可以帶來扎實(shí)和靈活。所以，世界上沒有免費(fèi)的午餐。同學(xué)們，學(xué)習(xí)沒有捷徑。請從多練習(xí)開始！
今天是七夕節(jié)，祝大家七夕快樂！