三角函數(shù)任意角和弧度(任意角的三角函數(shù)的弧度數(shù))

首先我要說明的是，關(guān)于三角函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，我專門給學(xué)生寫了幾份講義。因?yàn)槿呛瘮?shù)的知識(shí)點(diǎn)貫穿了整個(gè)高中階段。它是高中數(shù)學(xué)教材的重點(diǎn)內(nèi)容，因此學(xué)生必須了解和掌握三角函數(shù)的系統(tǒng)知識(shí)。我們高考的時(shí)候，三角函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)不能丟分。

接下來，我將基于三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)和構(gòu)造知識(shí)的系統(tǒng)來分析知識(shí)點(diǎn)三角函數(shù)的任意角度和弧度系統(tǒng)。

任意角度和弧度制，我先分析任意角度。

第一個(gè)問題，任意角度的含義

1.角度的形成

學(xué)生們都知道，角可以看作是平面上的射線繞其端點(diǎn)之一從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形。換句話說，由兩條具有公共端點(diǎn)O的射線組成的圖形稱為角。這個(gè)公共端點(diǎn)O稱為角的頂點(diǎn)，這兩條射線稱為角的邊。起始位置處的射線OA稱為角的起始邊，結(jié)束位置處的射線OB稱為角的終邊。如果這條射線形成的角度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，我們將其定義為正角。如果這條射線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)形成的角度，我們將其定義為負(fù)角。一條射線繞其端點(diǎn)O之一旋轉(zhuǎn)，無論逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)還是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，或者旋轉(zhuǎn)多少次，都會(huì)回到原來的位置。我們將其定義為圓周角。也可以說，終止邊OB與起始邊OA重合時(shí)形成的角度稱為周向角。如果一個(gè)鏡頭沒有進(jìn)行任何旋轉(zhuǎn)，我們將其定義為零角度。

2、象限角

在平面直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合。如果角度的起始邊與橫軸的正半軸重合，則角度的終止邊旋轉(zhuǎn)到停止的極限，這表明它是哪個(gè)象限角。如果一個(gè)角的端點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，則該角不是象限角。那么這種角度又分為三種情況。(1)起始邊在橫軸上，終止邊在縱軸上。這樣的角度是直角。(2)起始邊在橫軸的半軸上，終止邊在縱軸上。橫軸另一半上的角是直角。(3)終止邊旋轉(zhuǎn)后與起始邊重合。這樣的角度就是圓周角。

3.端邊相同的角

所有與角同邊的角，包括角，可以組成一個(gè)集合，s={|=+K.360度，kZ}。即，與角度具有相同末端側(cè)的任何角度都可以表示為角度與整個(gè)圓周角度之和。

讓我們進(jìn)一步探討一下。如果端邊相同，則角度不一定相同。如果K是整數(shù)，是任意角，那么與角相同的角有無數(shù)個(gè)。它們的差是360度的整數(shù)倍。

關(guān)于與角的端邊共線或垂直的角，以及特殊位置的端邊的角的集合，這里不再單獨(dú)列出。這兩個(gè)問題就留給學(xué)生通過學(xué)習(xí)教材和教學(xué)參考資料來獨(dú)立完成這一學(xué)習(xí)任務(wù)。

第二個(gè)問題，弧度制的含義

1.什么是弧度制？

要討論弧度系統(tǒng)的含義，我們必須澄清角度系統(tǒng)。讓我們結(jié)合角度系統(tǒng)來研究弧度系統(tǒng)。目標(biāo)是理解和掌握弧度系統(tǒng)是什么。

我們用來測(cè)量角度的單位稱為角度系統(tǒng)；我們使用弧度作為測(cè)量角度的單位稱為弧度系統(tǒng)。同學(xué)們一定要弄清楚這兩個(gè)概念。

長(zhǎng)度單位等于半徑的圓弧所對(duì)的圓心角稱為一弧度角。請(qǐng)注意，弧度由字符串rad表示。一般來說，正角的弧度數(shù)為正數(shù)；負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)。零角的弧度數(shù)為Q。若半徑為r的圓的圓心角為弧長(zhǎng)L，則角的弧度數(shù)的絕對(duì)值為：丨丨=1/r。這里的符號(hào)由角的端邊的旋轉(zhuǎn)方向確定。

同學(xué)們，我們已經(jīng)分析到這里了，但是我們還需要做一些提示：

第一個(gè)點(diǎn)的大小，即弧度角，與所取圓的半徑無關(guān)；

第二點(diǎn)，用弧度表示角度大小時(shí)，可以省略“弧度”一詞。但用“度”作為角度單位表示角度時(shí)，度（.）不能省略，必須寫清楚。

第三點(diǎn)，在弧度制下，角度集合與實(shí)數(shù)集合R之間建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系。

2.角度和弧度的換算規(guī)則

360度=2rad，180度=rad

1度=/180倍拉德

0.rad

1rad=(180/)度=57.30度

=57度18分鐘

（注意度、分、秒必須用符號(hào)o、＇、'表示，不能用漢字表示，以后就不會(huì)提示了）

3、弧度制中扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式

(1)、弧長(zhǎng)公式

L=丨丨乘以r

(2)、面積公式

S=1/2倍Lr

=1/2丨丨乘以r的絕對(duì)值

需要說明的是，L為弧長(zhǎng)，r為圓的半徑，為圓心角的弧度數(shù)。

（同學(xué)們注意，這里用文字表達(dá)的這兩個(gè)公式可能并不準(zhǔn)確，以現(xiàn)行教材中的公式為準(zhǔn)）

我們一起來做個(gè)測(cè)試

已知角度是第一項(xiàng)極限角，那么/2、2是哪個(gè)象限角？

解，就是第一象限角

K乘以360度90度+k

乘以360度

K180度/245度

+K180度

/2為第一象限角

或第三象限角

k乘以720度2180度+

K倍720度

2為第一個(gè)第三象限角

或者終端邊緣位于y軸的非負(fù)半軸上。

請(qǐng)同學(xué)們注意，這個(gè)解法有沒有錯(cuò)誤？讓學(xué)生自己再做一遍，然后與講義中的整個(gè)解題過程進(jìn)行比較。

（本講義中存在錯(cuò)誤，希望同學(xué)和編輯批評(píng)指正，謝謝?。?/p>