如何計(jì)算置信區(qū)間上下限(如何計(jì)算置信區(qū)間公式)

一、置信區(qū)間與置信水平

做實(shí)驗(yàn)時(shí)，無(wú)論實(shí)驗(yàn)條件多么精確，都無(wú)法避免隨機(jī)干擾的影響，因此誤差始終存在且無(wú)法避免。做科學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)，要多次測(cè)量，取平均值?？茖W(xué)實(shí)驗(yàn)的測(cè)量結(jié)果中總是添加測(cè)量范圍。

統(tǒng)計(jì)學(xué)的核心思想：利用樣本信息來(lái)估計(jì)總體信息

之前，我們使用樣本給出準(zhǔn)確的值來(lái)估計(jì)總體。這個(gè)點(diǎn)估計(jì)是有價(jià)值的，但是可能會(huì)有誤差，因?yàn)橛泄烙?jì)就會(huì)有誤差。錯(cuò)誤是不可避免的，但可以減少。

點(diǎn)（精確值）誤差區(qū)間（范圍）誤差

點(diǎn)估計(jì)

圖中橫軸是不同樣本從小到大的平均值，紅色虛線代表所需的總體平均值。假設(shè)采樣過(guò)程重復(fù)5次，那么就會(huì)有5個(gè)樣本，可以計(jì)算出5個(gè)樣本平均值的點(diǎn)估計(jì)。即藍(lán)點(diǎn)代表總體樣本。

如果圖片中有很多藍(lán)點(diǎn)，則每個(gè)藍(lán)點(diǎn)是總體平均值的點(diǎn)估計(jì)。這么多的點(diǎn)估計(jì)，我們無(wú)法判斷哪個(gè)點(diǎn)估計(jì)更好，也就是說(shuō)，我們無(wú)法知道估計(jì)的準(zhǔn)確程度，反之，我們也不知道誤差范圍。為了解決點(diǎn)估計(jì)的問(wèn)題，需要使用區(qū)間估計(jì)。

如果想知道全國(guó)男性的平均身高，只能通過(guò)抽樣來(lái)估計(jì)總體信息。從全國(guó)成年男性中隨機(jī)選擇樣本。該樣本的平均值是總體平均值的點(diǎn)估計(jì)。當(dāng)存在多個(gè)樣本進(jìn)行多點(diǎn)估計(jì)時(shí)，由于無(wú)法確定哪一個(gè)點(diǎn)估計(jì)對(duì)整體估計(jì)的誤差范圍較小，因此采用區(qū)間估計(jì)來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。

例如，國(guó)內(nèi)成年男性的平均身高在165cm~175cm[165,175]范圍內(nèi)，那么這個(gè)范圍稱為置信區(qū)間。

置信區(qū)間是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一種區(qū)間估計(jì)方法。用[a,b]表示總體均值的樣本估計(jì)的誤差范圍的區(qū)間。由于a和b的確切值取決于我們希望該區(qū)間包含總體平均值的置信度，因此該區(qū)間稱為置信度。間隔。

有五個(gè)樣本。樣本的總體均值就是上圖中的藍(lán)點(diǎn)。使用一定的方法構(gòu)建樣本整體均值的置信區(qū)間。那么五個(gè)樣本的平均值就會(huì)有五個(gè)置信區(qū)間，也就是圖中的黃色和紅色水平線。我們?nèi)匀徊恢滥臈l水平線更好，但是與點(diǎn)估計(jì)相比，因?yàn)檫@次是根據(jù)95%置信度構(gòu)建的區(qū)間估計(jì)，那么我們可以認(rèn)為除了圖中的紅線之外圖中，不包括總體平均值，所有其他行均包括總體平均值。這個(gè)結(jié)論的可信度有多大？換句話說(shuō)，如果有100個(gè)樣本，則可以構(gòu)建100個(gè)這樣的區(qū)間，其中大約95個(gè)將包含總體平均值。這也解釋了什么是置信水平。

置信水平是指包含總體均值的概率。例如，95%的置信水平意味著如果有100個(gè)樣本，可以構(gòu)建100個(gè)這樣的區(qū)間，并且有95%的概率包含總體均值。因此，如果只采樣一次，則該樣本包含總體均值的概率也是95%。

二、大樣本計(jì)算置信區(qū)間的四個(gè)步驟

1.確定要解決的問(wèn)題

使用樣本信息估計(jì)總體信息

2.求樣本的均值和標(biāo)準(zhǔn)誤

當(dāng)樣本量大于30時(shí)，抽樣分布符合中心極限定理，即抽樣分布為正態(tài)分布。

總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，但可以使用樣本標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)誤實(shí)際上就是標(biāo)準(zhǔn)差，但標(biāo)準(zhǔn)誤的計(jì)算對(duì)象是所有“樣本平均值”，標(biāo)準(zhǔn)誤是用來(lái)衡量所有“樣本平均值”的?！皹颖揪怠钡牟▌?dòng)大小

3.確定置信水平

置信水平應(yīng)該是多少完全取決于具體情況以及您對(duì)區(qū)間包含總體均值的信心程度。

置信水平越高，區(qū)間越寬，置信區(qū)間包含總體均值的概率就越大。常用的置信度為95%。

根據(jù)中心極限定理，無(wú)論總體服從什么分布，任何樣本的均值都會(huì)圍繞總體均值呈正態(tài)分布。因此，圖片中間的紅色垂直線就是總體平均值。根據(jù)正態(tài)分布的經(jīng)驗(yàn)法則，95%的樣本均值將落在兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)誤差之內(nèi)。

4.求置信區(qū)間的上下限

上圖中，上下限ba按照總體平均值對(duì)稱分布。根據(jù)a可以求出b。上圖中距離平均值的幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)誤差就是幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)。只需要找到a對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)分即可。多少錢才夠呢？用z表示標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)。那么如何求z的值呢？

下圖是求z值的方法

根據(jù)中心極限定理，樣本均值近似等于總體均值。根據(jù)上圖我們可以找到a

置信區(qū)間公式中的z指的是其絕對(duì)值|z|，公式修改如下：

a=總體平均值-|z|*標(biāo)準(zhǔn)誤差

b=總體平均值+|z|*標(biāo)準(zhǔn)誤差

大樣本置信區(qū)間計(jì)算總結(jié)

置信區(qū)間公式中的z指的是其絕對(duì)值|z|，公式修改如下：

a=總體平均值-|z|*標(biāo)準(zhǔn)誤差

b=總體平均值+|z|*標(biāo)準(zhǔn)誤差

三、小樣本計(jì)算置信區(qū)間的四個(gè)步驟

當(dāng)樣本量小于30時(shí)，抽樣分布符合t分布。t分布與正態(tài)分布非常相似。曲線相對(duì)平坦，有兩條突出的尾部。

上圖中的n指的是樣本量，df指的是自由度。

小樣本的置信區(qū)間與大樣本的置信區(qū)間不同，即第三步查詢的表不同。

置信區(qū)間公式中的t指的是其絕對(duì)值|t|，公式修改如下：

a=總體平均值-|t|*標(biāo)準(zhǔn)誤差

b=總體平均值+|t|*標(biāo)準(zhǔn)誤差

自由度是指可用樣本量的數(shù)量減去最后一個(gè)未被選中的樣本量，只剩下1個(gè)樣本。

例如：有四種水果，你每天選擇吃一種。第四天，只有一種水果可以吃。這個(gè)時(shí)候，已經(jīng)沒(méi)有其他的選擇了。此時(shí)的自由度為3。