求線段比值常用策略(求線段比值的題目)

八年級數(shù)學(xué)幾何題中，求線段的比例一直是個難題。尤其是當(dāng)題目條件中沒有給出線段長度時，很多同學(xué)都感到無頭緒。這時候就需要引入一個可以表達線段長度的量，即Set參數(shù)。

設(shè)置參數(shù)也是初中數(shù)學(xué)中常用的方法。它可以廣泛用于求線段比、角度比、面積比等，因為在求比的過程中，通常會消除參數(shù)。使用參數(shù)時一定要記住“過橋”，即消滅參。

話題

菱形ABCD中，ABC=60，P為對角線BD上的點，E為邊BC上的點，PE=PA。

(1)如圖1所示，求APE的次數(shù)；

(2)如圖2所示，BE的垂直平分線與BD相交于F點，與BE相交于G點。求出PF:AB的值；

(3)如圖3所示，PE與CD交于M點。當(dāng)CME=45時，求BC:CE的值。

分析：

（1）角為60的菱形實際上可以看作是由兩個等邊三角形組成的兩個等邊三角形。它是一種特殊的菱形，菱形是軸對稱圖形。BD是其對稱軸。好好利用這個財產(chǎn)。這樣可以大大簡化證明過程。

P點在BD上，所以連接PC。根據(jù)對稱性，PA=PC，根據(jù)題目條件中的PE=PA，可得PC=PE，如下所示：

我們要求的APE在四邊形ABEP內(nèi)，所以APE=360-BAP-ABC-E=300-BAP-E，根據(jù)對稱性，BAP=BCP=180-PCE=180-E，代入上式，可得APE=300-(180-E)-E=120；

(2)我們知道菱形的對角線平分一組對角，因此BD平分ABC，從而得到特殊的PBC=30。結(jié)合圖中的垂直平分線，我們可以構(gòu)造一個角為30的直角三角形，同時在上題中我們證明了等腰PCE。我們不妨通過點P構(gòu)造PHBE，然后構(gòu)造一個特殊的直角三角形，如下圖：

由于該題沒有給出任何邊長條件，為了求出比值，我們需要設(shè)置參數(shù)來表示線段AB和PF。我們應(yīng)該設(shè)置哪一個呢？

菱形的邊長起著極其重要的作用。首先，我們可以將菱形的邊長設(shè)置為PF。

BFG中，BF=2y，BG=3y，G點是BE的中點，所以BE=2BG=23y，所以CE=BE-BC=23y-x，等腰在PCE之前已經(jīng)證明，根據(jù)三條線的組合，可以求出CH=3y-x/2，那么在第二個特殊直角三角形BPH中，BH=BC+CH=x+3y-x/2=3y+x/2.所以PH=y+3x/6，BP=2y+3x/3，所以PF=BP-BF=3x/3。此時我們可以計算比率，結(jié)果為3/3；

（3）這題增加了一個特殊的角度45，那么此時的比例會發(fā)生什么變化呢？我們?nèi)匀谎永m(xù)上題的參數(shù)設(shè)置，在N點連接AC和BD，如下圖：

我們先計算一下相關(guān)的角度。在MEC中，CME=45，MCE=60，所以得到E=75，這樣就可以得到兩個等腰三角形，即BPE和PCE，然后計算CPE=30，所以我們得到APC=90。根據(jù)對稱性，我們得到BPC=45?，F(xiàn)在我們可以利用特殊直角三角形的邊長關(guān)系。

仍然假設(shè)菱形的邊長為x，則CN=x/2=PN，BN=3x/2，BP=BN+PN=3x/2+x/2，所以BE=BP=3x/2+x/2，所以CE=BE-BC=3x/2-x/2，即可求出比值，化簡后得到3+1。

反思解決問題

在使用參數(shù)之前你是如何看待使用參數(shù)的？問題條件是沒有線段長度，但比例為1。特殊的邊長之間存在著關(guān)系，比如等腰直角三角形、角為30的直角三角形等，并且存在著全等、對稱等等價關(guān)系。三、除了這道題，很多其他問題也適合參數(shù)法，比如解決應(yīng)用問題和函數(shù)問題。參數(shù)的意義在于輔助或簡化，最終會被淘汰。如果推導(dǎo)結(jié)束后參數(shù)還在，那肯定說明過程有問題。

其實參數(shù)沒必要想得那么神秘。當(dāng)我們學(xué)習(xí)角度表示時，我們標(biāo)記1、2等，這些都是參數(shù)。同樣，在解決問題的過程中，太多的線段名稱也不方便找到數(shù)量關(guān)系。假設(shè)用x、y等字母來表示，最終的作用就是簡化流程。