勾股定理的一個新證明是什么(勾股定理的另一種證明方法)

今天下午，我們來聊聊今年4月份AndresNavas在預(yù)印本庫arXiv上發(fā)表的最新證明。這是關(guān)于畢達哥拉斯定理的。通過面積法證明，涉及一些簡單的面積計算和初等數(shù)學(xué)。三角函數(shù)的知識。但證明的方法和語言都是原創(chuàng)的，非常值得一看。這里我們只提一下證明思路，回顧一下畢達哥拉斯定理的相關(guān)歷史。

畢達哥拉斯定理被認為是改變世界的重要數(shù)學(xué)定理之一，又稱畢達哥拉斯定理。它的數(shù)學(xué)語言是（先用知乎公式編輯器寫個數(shù)學(xué)公式來玩玩，這其實既孤單又熱鬧）：

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='c2=a2+b2'role='presentation'c2=a2+b2c^{2}=a^{2}+b^{2}公元前540年左右，希臘畢達哥拉斯哲學(xué)學(xué)派提出：“一切皆數(shù)”，發(fā)現(xiàn)了畢達哥拉斯定理，并導(dǎo)致了不可約量的發(fā)現(xiàn)。（據(jù)說畢達哥拉斯證明這個定理后，殺了一百頭牛來慶祝，所以又叫“百牛定理”，確實牛逼，但是牛是無辜的?。?/p>

更早的時候，大約公元前600年，希臘米利都的泰勒斯開始證明幾何命題，將數(shù)學(xué)標記為演繹演繹的科學(xué)。更早的時候，畢達哥拉斯定理的特殊情況在中國商高時代（公元前11世紀）就已為人所知：鉤三、股四、弦五。

這個古老定理的證明吸引了不同時代、不同國家不同層次的數(shù)學(xué)愛好者。據(jù)說證明方法有上百種，但李老師認為最早的證明是歐幾里得的Given，完整的證明記載在《幾何原本》。我們看第一章的第47個命題：

在直角三角形中，與直角相對的邊上的正方形等于包含直角的邊上的正方形。

翻譯成中文就是

在直角三角形中，直角對邊的平方等于直角兩側(cè)的平方和。

AndresNavas(http://arxiv.org/abs/1604.03808)的證明似乎受到了歐幾里得的啟發(fā)。這位大老師的證明就是兩邊各做一個正方形，最后直接解決（暴力美學(xué)）。安德烈斯·納瓦斯在每條邊上畫了一個等邊三角形。如下所示：

抱歉，我的圖有點草率，請參考論文原文自行推演。首先，根據(jù)三個三角形和一個平行四邊形求整個圖形的面積：

然后，執(zhí)行局部加法，如下所示：這次是三個三角形的和，其中兩個與上式中的兩個相抵消。

面積法雖然不是獨創(chuàng)的，但幾何圖形之間是直接相關(guān)、相互依賴的。作者不得不依靠圖的計算來給出最終的結(jié)果：論文雖然短，但是說了很多。

你可以找到并欣賞Euclid給出的證明方法。它非常美麗。另外請看一下本書這一章的最后一個證明（可見《幾何原本》的安排是用心良苦的，至少也是相當(dāng)嚴謹?shù)模褪撬哪娑ɡ恚?/p>

如果三角形一側(cè)的平方等于三角形另外兩條邊的平方和，則另外兩條邊之間的角是直角。請參閱《幾何原本》提案1.48：

如果三角形的一條邊的平方等于三角形剩余兩條邊的平方（和），則三角形剩余兩條邊所包含的角度是直角。

更多詳情請參考：

難道中國古代數(shù)學(xué)家只是在畢達哥拉斯定理上總結(jié)經(jīng)驗，而沒有進行推理和驗證嗎？-數(shù)學(xué)圖靈社區(qū)：書：畢達哥拉斯定理：證明維基百科英文詞條Euclid維基百科英文詞條EuclidElementsElementsofGeometry，（古希臘）Euclid，譯者：蘭吉正/朱恩寬譯林書局2011-11