指數(shù)與指數(shù)函數(shù)高考題型(指數(shù)與指數(shù)函數(shù)高考題)
考綱原文
(1)了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景。
（2）理解有理指數(shù)冪的含義，理解實指數(shù)冪的含義，掌握冪的運算。
（3）理解指數(shù)函數(shù)的概念，理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)的圖形所經(jīng)過的特殊點。
(4)知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型。
知識點詳解
一、指數(shù)與指數(shù)冪的運算
1.部首
(1)n次方根的概念和性質(zhì)
(2)根式的概念和性質(zhì)
【筆記】
速記技巧：
必須清楚地區(qū)分正數(shù)的平方根。根指的是奇數(shù)和偶數(shù)，這是有很大不同的。
根指是奇數(shù)根，根指是偶數(shù)雙胞胎。
負(fù)數(shù)只有奇數(shù)根，算術(shù)平方根為零或正數(shù)，
如果找到正數(shù)的偶數(shù)二階根，則符號相反的值將相同。
計算負(fù)數(shù)的平方根時要小心。這個詞根的意思是它是一個神童。
如果根是偶數(shù)，則沒有意義，零開平方仍然是零。2.實數(shù)指數(shù)
(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
我們規(guī)定正數(shù)的正小數(shù)指數(shù)冪的含義為rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='amn=amn'角色='演示'amn=amna^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}(a0,m,nN*，和n1)。因此，在a0、m、nN*、n1條件下，根式可以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式。
正數(shù)的負(fù)小數(shù)指數(shù)的含義與負(fù)整數(shù)指數(shù)的含義類似。我們規(guī)定rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='a#x2212;mn=1amn'角色='演示'amn=1amna^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}(a0,m,nN*,和n1)。
0的正小數(shù)指數(shù)次方等于0，0的負(fù)小數(shù)指數(shù)次方無意義。
(2)有理數(shù)指數(shù)冪
定義了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義后，指數(shù)的概念從整數(shù)指數(shù)冪擴展到有理數(shù)指數(shù)。整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)也適用于有理數(shù)指數(shù)冪，即對于任意有理數(shù)，都有以下運算性質(zhì)：
rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='aras=ar+s'角色='演示'aras=ar+sa^{r}a^{s}=a^{r+s}(a0,r,sQ);
rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='(ar)s=ars'角色='演示'(ar)s=ars(a^{r})^{s}=a^{rs}(a0,r,sQ);
rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='(ab)r=arbr'角色='演示'(ab)r=arbr(ab)^{r}=a^{r}b^{r}(a0,r,sQ)。
(3)無理數(shù)指數(shù)冪
對于無理數(shù)的指數(shù)，我們可以從有理數(shù)的指數(shù)來理解。由于無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，所以我們可以利用無理數(shù)的不充分逼近和過剩逼近來無限逼近它。最后我們還可以得出結(jié)論，無理數(shù)的指數(shù)是定實數(shù)。
一般來說，無理數(shù)指數(shù)冪'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='a#x03B1;'role='presentation'aa^{\alpha}(0,是無理數(shù))是定實數(shù)。有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)也適用于無理數(shù)指數(shù)冪。
2.指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)
1.指數(shù)函數(shù)的概念
一般情況下，函數(shù)rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='y=ax'role='presentation'y=axy=a^{x}(a0且a1)稱為指數(shù)函數(shù)，其中x為自變量，函數(shù)的定義域為R。
[注]指數(shù)函數(shù)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='y=ax'role='presentation'y=axy=a^{x}（a0且a1）的結(jié)構(gòu)特征：
(1)Base：大于0且不等于1的常數(shù)；
(2)指標(biāo)：只有自變量x；
(3)系數(shù)：ax的系數(shù)為1.2。指數(shù)函數(shù)的圖形及其性質(zhì)
【注】速記提示：
一定要看清指數(shù)的增減，把握底數(shù)，不放松；
無論如何，已經(jīng)證明了底數(shù)大于0且不等于1；
如果基數(shù)大于1，則圖像從下到上增大；
基數(shù)在0到1之間，圖像從上到下遞減；
無論函數(shù)增大還是減小，圖形都會經(jīng)過(0,1)點。3.關(guān)于指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)
(1)求復(fù)合函數(shù)的定義域和取值范圍
形狀像rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='y=af(x)'role='presentation'y=af函數(shù)(x)y=a^{f(x)}的域是f(x)的域。
找到類似rame'tabindex='0'style='font-size:100%的形狀；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='y=af(x)'role='presentation'y=對于函數(shù)af(x)y=a^{f(x)}的取值范圍，首先應(yīng)該求出f的取值范圍(x)，然后根據(jù)單調(diào)性求rame'tabindex='0'style='font-。尺寸：100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='y=af(x)'角色='演示'y=af(x)y=a^{f(x)}范圍。如果a的范圍不確定，則需要討論a。
找到類似rame'tabindex='0'style='font-size:100%的形狀；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='y=f(ax)'role='presentation'y=首先要找到函數(shù)f(ax)y=f(a^{x})的取值范圍rame'tabindex='0'樣式='字體大?。?00%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='u=ax'role='presentation'u=axu=a^{x}的取值范圍，結(jié)合y=f(u)的屬性確定rame'tabindex='0'style='字體大?。?00%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='y=f(ax)'role='presentation'y=f(ax)y=f(a^{x})值范圍。
(2)確定復(fù)合函數(shù)rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='y=f(ax)'role='presentation'y=f(ax)y=f(a^{x})單調(diào)性
設(shè)u=f(x)，x[m,n]，若兩個復(fù)合函數(shù)rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='y=au'role='presentation'y=auy=a^{u}與u=f(x)具有相同的單調(diào)性，則復(fù)合函數(shù)是[m,n]上的增函數(shù)；如果兩者的單調(diào)性不同（即一個增大，一個減?。?，則復(fù)合函數(shù)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='y=f(ax)'role='presentation'y=f(ax)y=f(a^{x})是[m,n]上的遞減函數(shù)。
(3)研究函數(shù)的奇偶性
第一種是定義方法，即首先定義定義域關(guān)于原點對稱，然后分析公式f(x)和f(x)之間的關(guān)系，最后確定函數(shù)的奇偶性。
第二種是圖像法。制作函數(shù)的圖像或觀察已知函數(shù)的圖像。如果圖像關(guān)于坐標(biāo)原點或y軸對稱，則該函數(shù)具有奇偶性。
考向分析
考向一指數(shù)與指數(shù)冪的運算
指數(shù)求冪的一般原理
（1）如果有括號，則先計算括號內(nèi)的，如果沒有括號，則先進行指數(shù)運算。
（2）先乘除，再加減，將負(fù)指數(shù)轉(zhuǎn)化為正指數(shù)的倒數(shù)。
(3)若底數(shù)為負(fù)數(shù)，則先確定符號；如果底數(shù)是小數(shù)，則先將其轉(zhuǎn)換為分?jǐn)?shù)；如果底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，則先將其轉(zhuǎn)化為假分?jǐn)?shù)。
(4)如果是根式，則應(yīng)將其轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能以冪的形式表示，并利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)來求解。
(5)有理數(shù)指數(shù)的運算性質(zhì)中，底數(shù)均大于零，否則不能利用該性質(zhì)進行運算。
(6)根式轉(zhuǎn)換為指數(shù)運算更方便。不要求以統(tǒng)一的形式表達計算結(jié)果。若有特殊要求，應(yīng)按要求書寫結(jié)果。但結(jié)果不能同時包含根符號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能同時包含分母和負(fù)指數(shù)。
考向二與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的圖象問題
指數(shù)函數(shù)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='y=ax'role='presentation'y=axy=a^{x}（a>0，且a1）的圖像變換如下：
【注】可以概括為：函數(shù)y=f(x)沿x軸和y軸的變換為“上加下減，左加右減”。
考向三指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
1.比較冪大小的常用方法：
(1)對于同底不同指數(shù)的兩個冪的比較，可以用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷；
(2)對于不同底數(shù)、相同指數(shù)的兩次冪的比較，可以利用指數(shù)函數(shù)圖像的變化規(guī)律來判斷；
(3)對于不同底數(shù)、不同指數(shù)的冪的比較，可以折算成同底的兩次冪或通過中間值進行比較。
2.求解指數(shù)方程或不等式
解決簡單指數(shù)方程或不等式的問題。解決此類問題，應(yīng)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，特別注意基a的取值范圍，必要時進行分類討論。
考向四指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用
1.指數(shù)函數(shù)中參數(shù)的值或范圍問題
應(yīng)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行合理的變換和求解。同時要特別注意基數(shù)a的取值范圍，當(dāng)基數(shù)不確定時應(yīng)進行分類討論。
2.指數(shù)函數(shù)綜合問題
需要將指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)與函數(shù)的其他性質(zhì)（如奇偶性、周期性）結(jié)合起來，同時要特別注意基不確定時基的分類討論。
【名師點睛】
從函數(shù)的解析表達式判斷函數(shù)圖的形狀時，主要采用消元法。解題時應(yīng)注意以下幾點：（1）首先求函數(shù)的定義域，根據(jù)定義域排除；
（2）利用函數(shù)的性質(zhì)進行判斷，即根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性進行消去；
(3)根據(jù)函數(shù)圖上特殊點的函數(shù)值或根據(jù)函數(shù)的變化趨勢進行判斷。
2、解決函數(shù)中常成立問題的常用方法：
(1)分離參數(shù)法。如果可以分離出期望范圍內(nèi)的參數(shù)，則問題可以轉(zhuǎn)化為(或)始終成立的問題。此時只需獲取函數(shù)的最大（最小值）值即可。如果無法找到函數(shù)的最大值，則可以用函數(shù)范圍的端點值來表示。
(2)如果所需參數(shù)不可分，則必須根據(jù)方程根的分布或函數(shù)的單調(diào)性，并結(jié)合函數(shù)的圖形，將問題轉(zhuǎn)化為不等式進行處理。