2020年高考理科答案全國一卷(2020年高考理科試題全國卷)
2020年高考全國卷理科第20題的解答與拓展
林國紅
摘要：本文對2020年高考全國第三卷數(shù)學考試理科部分第20題（2）進行了深入研究，從不同角度給出了四種解答，概括了2020年高考理科部分的第（2）題。測試問題，并獲得兩個更一般的答案。結論，并將結論類比為雙曲線。
關鍵詞：高考數(shù)學；區(qū)域；晉升；比喻
一、題目呈現(xiàn)
問題已知橢圓的偏心率分別為C的左右頂點。
(1)求出C的方程；
（2）若點P在C上，點Q在直線x=6上，且|BP|=|BQ|，BPBQ，求APQ的面積。
由于問題（1）比較簡單，本文不予討論。接下來，對問題(2)進行回答和探討。
二、解法探究
分析：已知可得點B是不動點。可以考慮設置P(x0,y0)、Q(6,n)，通過參數(shù)對問題的條件進行平移和變換。
解法1（以點為參數(shù)）假設P(x0,y0)，Q(6,n)，由已知得到B(5,0)，則
根據(jù)問題的意思，我們得到
解決或或或
此時，A(-5,0)、P(-3,1)、Q(6,8)。
那么直線AP的方程為x-2y+5=0，點Q(6,8)到直線AP的距離是因為|AP|=
同理，其他情況下APQ的面積可計算為
因此，APQ的面積為
分析是根據(jù)問題的意思來進行的。點P由直線BP和橢圓C確定。點Q由直線BQ和直線x=6確定。結合已知條件，以直線BP的斜率k為參數(shù)，對問題的條件進行平移變換。
解2（使用斜率作為參數(shù)）令P(x0,y0)。從題意可知，直線BP的斜率存在且不為0。設直線BP的方程為y=k(x-5)(k0)，則直線BQ是
同時
排序后，得到(1+16k2)x2-160k2x+(400k2-25)=0。
因此，當0時，將x0代入y=k(x-5)，則解為：
令x=6，我們得到
又因為B(5,0)，所以
從|BP|=|BQ|，我們得到
解決或
此時，P(3，-1)，Q(6，-2)；
此時，P(3,1)，Q(6,2)；
此時，P(-3，-1)，Q(6，-8)；
此時，P(-3,1)，Q(6,8)。
以下是與1相同的解決方案。
分析：根據(jù)條件|BP|=|BQ|，BPBQ，可知P點的坐標可以由Q點的坐標確定，反之亦然。由于Q點的橫坐標為6，因此可以通過Q點的坐標來確定點P的坐標。仍然使用斜率作為參數(shù)來平移和變換問題的條件。
解3（使用斜率作為參數(shù)）假設P(x0,y0)。從題意可知，直線BP的斜率存在且不為0。假設直線BP的斜率為k，則直線BP的方程為y=k(x-5)，直線BQ的斜率為
又根據(jù)方程-5x05，將解代入y=k(x-5)，可得
(1)當k0時，代入解得或
此時P(-3,-1),Q(6,-8);
此時P(3,-1),Q(6,-2)。
(2)當k0時，同理可得
此時P(-3,1)，Q(6,8)；
此時P(3,1)，Q(6,2)。
以下是與1相同的解決方案。
分析橢圓的對稱性，我們不妨將點P和Q設置在x軸上方。如圖1所示，過點P畫一條垂直于x軸的直線，垂足為M點。設x=6與x軸相交于N點，如圖PMBBNQ，則即可求得點P的坐標和直線AQ的方程。根據(jù)點到線距離公式和兩點之間的距離公式，可以求出C的面積。
解4（平面幾何角）基于橢圓的對稱性，我們不妨將點P和Q設置在x軸上方。因為點P在C上，點Q在直線x=6上，且|BP|=|BQ|，BPBQ，過點P作與x軸垂直的直線，垂足為點M.令x=6與x軸相交于N點，如圖1所示。
由于|BP|=|BQ|，BPBQ，PMB=QNB=90，又因為PBM+QBN=90，BQN+QBN=90，所以PBM=BQN，所以PMBBNQ。
所以|PM|=|BN|=6-5=1。
假設P點為(xP,yP)，則可以得到P點的縱坐標為yP=1。將其代入解可得xP=3或xP=-3，故P點為(3,1)或(-3,1)。
當P點為(3,1)時，故|MB|=5-3=2。
因為PMBBNQ，所以|MB|=|NQ|=2，得到的點Q為(6,2)，如圖2所示。
由A(-5,0),Q(6,2)可得直線AQ的方程為2x-11y+10=0，故點P到直線AQ的距離為
所以
當P點為(-3,1)時，則|MB|=5+3=8。因為PMBBNQ，所以|MB|=|NQ|=8，可得到點Q為(6,8)，如圖3所示。
由A(-5,0)、Q(6,8)可得直線AQ的方程為8x-11y+40=0，故點P到直線AQ的距離為
所以
綜上，APQ的面積為
三、試題推廣
通過概括試題，可以得出以下結論：
結論1已知橢圓分別為橢圓C的左、右頂點，橢圓C的偏心率為e。若點P在C上，點Q在直線x=k(ka)上，且|BP|=t|BQ|(t0)，BPBQ，則
為了證明橢圓的對稱性，我們不妨將點P和Q設置在x軸上方，令P(xP,yP)，Q(k,yQ)。因為點P在C上，點Q在直線x=k上，且|BP|=t|BQ|，BPBQ，過點P作與x軸垂直的直線，垂足為M點。假設x=k與x軸相交于N點，如圖4所示。
由于|BP|=|BQ|，BPBQ，PMB=QNB=90，又因為PBM+QBN=90，BQN+QBN=90，所以PBM=BQN，所以PMBBNQ。
由于|BP|=t|BQ|，因此|PM|=t|BN|，即yP=t(k-a)，代入得到的解
從而有
那時，有
由于|MB|=t|NQ|，所以
所以
因此，直線AQ的方程為
整理一下，得yQx-(k+a)y+yQa=0，
即yQ(x+a)-(k+a)y=0。
因此，點P到直線AQ的距離為
到時候同樣的邏輯就可以得到
顯然，在橢圓中，當k=6，t=1時，從結論2可以發(fā)現(xiàn)，這正是原高考題的情況。
四、類比拓展
經(jīng)過探索，雙曲線中也有類似的結論：
結論2已知雙曲線為雙曲線C的左右頂點，雙曲線C的偏心率為e。若點P在C上，點Q在直線x=k(0ka)上，且|BP|=t|BQ|(t0)，BPBQ，則
學習數(shù)學離不開解決問題。一道優(yōu)秀的試題，在獲得答案的基礎上，應該多角度地進行嘗試和聯(lián)想。借助問題，我們可以探索隱藏在問題背后的奧秘，并努力擴大結果。從特殊數(shù)學到一般數(shù)學思想是分析幾何數(shù)學發(fā)現(xiàn)的重要手段。只有養(yǎng)成善于思考、舉一反三、學到底的學習習慣，才能在學習中獲得無窮的樂趣，發(fā)展思維。
參考：
[1]林國紅.2018年全國高中數(shù)學聯(lián)賽預賽試題的探索與思考[J].數(shù)學通訊，2019（16）：39-41。
作者簡介：林國宏（1977-），男，廣東佛山人，本科，高級中學教師，從事高中數(shù)學教學研究。