老黃怎么樣了(老黃說了什么話)

2022年高考數(shù)理卷B中的立體幾何題，讓老黃在解題的過程中學(xué)到了新的數(shù)學(xué)知識。建議你每天抽出一些時(shí)間來學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)不會耽誤你！

如圖所示，在四面體ABCD中，ADCD，AD=CD，ADB=BDC，E為AC的中點(diǎn)。

(1)證明：平面BED平面ACD；

（2）假設(shè)AB=BD=2，ACB=60度，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)AFC的面積最小時(shí)，求CF與平面ABD所成角度的正弦值。

其實(shí)，只要你有良好的空間想象力，掌握立體幾何的一些基本定理，立體幾何一點(diǎn)也不難。但如果你的空間想象力很差，記不住一些基本定理，或者應(yīng)用不了，那么立體幾何問題就如同天書一樣。所有這些能力都是通過每天的努力獲得的。那時(shí)候，老黃就是不努力?，F(xiàn)在回想起來，他感到“遺憾”！下面，老黃就給大家留下很多打老黃臉的機(jī)會?？茨阌袥]有機(jī)會、有能力打老黃的臉！

分析：（1）第一題中，定理“如果一個(gè)平面內(nèi)的一條直線垂直于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面相互垂直”。由于老黃是通過自己的“猜測和推理”得出這些三維幾何定理的，所以語言上可能存在一些不規(guī)范之處。請自行查看課本上的定理。這個(gè)定理應(yīng)該是教科書上的。

要證明一條直線垂直于另一個(gè)平面，必須由“垂直于相交線的直線也垂直于相交線所在平面”的定理來確定。因此，目標(biāo)是證明兩條相交線同時(shí)垂直于直線AC。

這就需要應(yīng)用初中數(shù)學(xué)“三線合一”定理“等腰三角形底邊的中線也是底邊的高”。這個(gè)定理很有用，但熟練應(yīng)用的人并不多。老黃初中時(shí)就熟悉定理了。

即我們需要兩個(gè)等腰三角形，其中一個(gè)已知，ACD，另一個(gè)可以通過證明三角形ADB和三角形CDB全等來實(shí)現(xiàn)。

上面用的就是逆向思維?，F(xiàn)在正向邏輯組織過程是證明：全等三角形-等腰三角形-同底兩高-垂直線和垂直面-垂直面。不看下面的解題流程你能自己解決嗎？

(2)有兩種方法可供選擇，一種是建立系統(tǒng)然后利用向量的知識來求解的代數(shù)方法，另一種是幾何方法。這次老黃選擇了幾何方法。參考答案采用代數(shù)方法。

首先求圖中邊AC、BC、AB、BD、AD、CD、DE的長度。這些很容易找到，因?yàn)橛械冗吶切蜛BC和等腰直角三角形ACD。利用它們的邊之間的關(guān)系可以很容易地得到它們的長度。

解決這個(gè)問題的關(guān)鍵是：當(dāng)三角形AFC的面積最小時(shí)，點(diǎn)F的位置應(yīng)該在哪里？由于F是BD上的一個(gè)移動點(diǎn)，所以這個(gè)點(diǎn)有點(diǎn)難以捉摸。三角形AFC具有恒定的基礎(chǔ)AC。如果是平面幾何問題，就很容易解決。只要點(diǎn)到直線的距離是最短垂直線段，就可以立即求解。這是一個(gè)三維幾何問題。在BD上的任意一點(diǎn)，都會有一條與AC垂直的線段。那么這些垂直線段中哪一條最短呢？

這是老黃不明白的事情，因?yàn)槔宵S一生中從來沒有接觸過這個(gè)問題，也不知道高中數(shù)學(xué)課本上是否有這樣的定理。幸運(yùn)的是，這里的BD和AC是相互垂直的。于是，黃在觀察之后開始“猜測、推理”，得到了黃有生第一次接觸到的立體幾何定理。描述起來很不方便。“不在同一平面內(nèi)且相互垂直的兩條直線BD和AC。如果其中一條直線BD上的點(diǎn)F與另一條直線AC構(gòu)成垂直于第一條直線BD的面，則此F點(diǎn)為第一條直線。BD上各點(diǎn)到另一直線AC的最小距離”。你敢說老黃定理是錯(cuò)的嗎？剛剛好！

我不知道當(dāng)兩條直線不垂直時(shí)會發(fā)生什么。如果有時(shí)間，老黃還會繼續(xù)“猜推”看。

根據(jù)上述定理，我們還可以得到CF與平面ABD之間的夾角。這個(gè)角就是角AFC，它是等腰三角形，因?yàn)樗膬蓷l邊AF和CF是全等三角形的對應(yīng)高度。底AC已經(jīng)找到了，AF和CF所在的三角形的三邊也已經(jīng)找到了，所以就可以求出它們的長度了。現(xiàn)在我們有了三角形AFC的三條邊，我們就可以利用余弦定理求出角度AFC的余弦值，然后根據(jù)余弦和正弦的關(guān)系找到最終的答案。不看下面的解題流程你能自己解決嗎？

好了，現(xiàn)在老黃就來整理一下解題過程了。

(1)證明：AD=CD,ADB=BDC,BD=BD,ADBCDB,

E點(diǎn)是AC的中點(diǎn)，DEAC，BEAC，AC平面BED，

還有AC平面ACD、平面BED平面ACD。

（2）解：根據(jù)題意，AC=BC=AB=BD=2，AD=CD=平方根2，DE=AC/2=1，

當(dāng)AFC面積最小時(shí)，BD平面AFC；[為什么？讓閱卷老師自己猜。這不是一個(gè)證明問題，所以你不需要告訴他為什么]

AFC為CF與平面ABD所成的角；

假設(shè)DF=x，則BF=BD-DF=2-x，

2-x^2=4-(2-x)^2，解為：x=1/2。CF=AF=平方根(2-x^2)=平方根7/2。

cosAFC=(AF^2+CF^2-AC^2)/(2AF*CF)=-1/7,

sinAFC=根(1-(cosAFC)^2)=4根3/7。

那么在高考數(shù)學(xué)中，是否可以使用這種“猜推”的方法呢？為什么不？恐怕你自己沒有這個(gè)。老黃當(dāng)年高考的時(shí)候，所有的數(shù)學(xué)公式、公理都是直接推算出來就用的。然而，僅僅依靠這種方法確實(shí)是不夠的。書上的知識你還需要掌握！

老黃知識生態(tài)系統(tǒng)3015次同意請教老黃，終于炫耀了。我剛才不是說老黃可以在一條直線上的一點(diǎn)和另一條直線不在同一平面上且不垂直的情況下自由探索這兩條直線之間的關(guān)系嗎？最短距離？老黃還沒寫完這篇文章，他就已經(jīng)“猜到、推理”出來了。不在同一平面內(nèi)的兩條直線（無論是否垂直）之間的最短距離位于其公共垂線上。那么，現(xiàn)在這個(gè)定理夠簡單了嗎？所以實(shí)際上上題中F到AC的最小距離就是CD垂直于平面ACF時(shí)EF的長度。（只要自娛自樂，開心就好）