初中幾何48個(gè)模型及題型(初中幾何48模型電子版可打印)

圓是古人最早認(rèn)識(shí)的幾何圖形之一。他們用一根繩子測(cè)量土地時(shí)發(fā)現(xiàn)，只要一個(gè)人握住繩子的一端不動(dòng)，另一個(gè)人拉著繩子的另一端移動(dòng)，就會(huì)畫(huà)出一個(gè)圓圈。因此要認(rèn)識(shí)到圓有兩個(gè)核心元素：圓心和半徑。

圓的定義：在同一平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)（O）的距離（R）點(diǎn)的集合叫做圓，這個(gè)定點(diǎn)叫做圓的圓心（O）。

需要注意的是，我們通常所說(shuō)的圓是指圓周，是與圓心等距的點(diǎn)的集合，不包括圓心。這些點(diǎn)形成一個(gè)圓。有些幾何題中，沒(méi)有給出圓心，比如三角形的外接圓或內(nèi)切圓，但只要給出圓，就可以很容易得到圓心。

圓的半徑：

連接圓上任意一點(diǎn)到圓心的線段稱為半徑（AO），一般用r（半徑）表示。

圓的直徑：

初中課本上說(shuō)，連接圓上任意兩點(diǎn)的線段稱為弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦稱為直徑。其實(shí)我們可以這樣理解：經(jīng)過(guò)圓心的直線與圓相交于兩點(diǎn)。連接兩點(diǎn)的線段稱為直徑（AB），一般用字母d（直徑）表示。由于從中心O到點(diǎn)A、B的線段等于半徑，因此直徑的長(zhǎng)度是半徑長(zhǎng)度的兩倍，即d=2r。

圓的周長(zhǎng)：

古代數(shù)學(xué)家沿著尺子滾動(dòng)不同大小的圓環(huán)，發(fā)現(xiàn)圓的周長(zhǎng)始終是圓的直徑乘以某個(gè)常數(shù)。這個(gè)常數(shù)就是我們現(xiàn)在所知的pi()。然而，當(dāng)時(shí)的人們發(fā)現(xiàn)并不是一個(gè)整數(shù)，似乎無(wú)論如何也無(wú)法得到的精確值。這困擾了人們數(shù)千年，直到1761年，德國(guó)數(shù)學(xué)家約翰·海因里?！ぬm伯特用連分?jǐn)?shù)的方法證明了是一個(gè)無(wú)理數(shù)（無(wú)限不循環(huán)小數(shù)）。繼1844年法國(guó)數(shù)學(xué)家劉維爾證明了超越數(shù)的存在之后，1882年，德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼證明了pi是超越數(shù)。圓周率之謎終于被揭開(kāi)。

由于圓的周長(zhǎng)是常數(shù)乘以直徑，因此我們首先得到圓的周長(zhǎng)公式：

C=d或C=2r。

周長(zhǎng)用字母C（圓周）表示

圓周率的計(jì)算：

現(xiàn)在很多人理所當(dāng)然地認(rèn)為是一個(gè)常數(shù)，但是他們沒(méi)有想過(guò)為什么是一個(gè)常數(shù)？如果不是一個(gè)常數(shù)，并且是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，那么我們計(jì)算值的努力將毫無(wú)意義。

首先，證明是常數(shù)的過(guò)程：（沒(méi)學(xué)過(guò)“相似三角形”可以直接看結(jié)論）

以O(shè)點(diǎn)為圓心，半徑為R1和R2作兩個(gè)同心圓。然后制作兩個(gè)內(nèi)接于兩個(gè)圓的n邊正多邊形（n=10），并保證經(jīng)過(guò)兩個(gè)正多邊形中心的對(duì)角線重合。兩個(gè)正多邊形的邊長(zhǎng)分別為K1和K2。

我們通過(guò)：

從而我們獲得結(jié)論：

圓的周長(zhǎng)（d或2r）只跟半徑相關(guān)，則為常數(shù)。

的計(jì)算：

與證明是常數(shù)的方法一樣，人們?cè)谟?jì)算的值時(shí)，也用圓來(lái)內(nèi)接正n邊形。n越大，正n邊形的周長(zhǎng)越接近圓的周長(zhǎng)，從而計(jì)算出的值越準(zhǔn)確。這就是“切圓法”。

上圖是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德（公元前287年-公元前212年）通過(guò)正96邊形得出的值。中國(guó)數(shù)學(xué)家祖沖之（公元429年-公元500年）在公元460年進(jìn)一步得出精度在3.到3.之間，達(dá)到了個(gè)正多邊形。在接下來(lái)的800年里，這仍然是最準(zhǔn)確的值。

細(xì)心的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)，《切圓法》中對(duì)于正n邊多邊形，n是6的倍數(shù)。

這是因?yàn)槔弥苯侨切蔚男再|(zhì)，我們可以相對(duì)容易地計(jì)算

這些角對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)（后面會(huì)詳細(xì)介紹）。

趣聞

2011年，國(guó)際數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)正式宣布將每年的3月14日定為國(guó)際數(shù)學(xué)日。來(lái)源是中國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之的圓周率。[16]國(guó)際圓周率日可以追溯到1988年3月14日，當(dāng)時(shí)舊金山科學(xué)博物館的物理學(xué)家拉里·肖（LarryShaw）組織博物館員工和參與者做3和1/7圈（22/7，）博物館紀(jì)念碑周圍。（近似值之一）做圓周運(yùn)動(dòng)并一起吃水果派。后來(lái)，舊金山科學(xué)博物館延續(xù)了這一傳統(tǒng)，每年的這一天都會(huì)舉辦慶?；顒?dòng)。2020年，名為“北阿拉巴馬慈善計(jì)算”的非營(yíng)利組織的創(chuàng)始人蒂莫西·穆里肯(TimothyMullican)用個(gè)人電腦計(jì)算出了一個(gè)精確到小數(shù)點(diǎn)后50萬(wàn)億位的數(shù)值，耗時(shí)303天。[23]2021年8月17日，美國(guó)趣味科學(xué)網(wǎng)站報(bào)道，瑞士研究人員利用超級(jí)計(jì)算機(jī)，花了108天將著名的數(shù)學(xué)常數(shù)pi計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后62.8萬(wàn)億位，創(chuàng)下了該常數(shù)的最精確記錄，因此遠(yuǎn)的。值記錄。為什么科學(xué)家現(xiàn)在還在計(jì)算的值？

當(dāng)1882年德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼證明圓周率是一個(gè)超越數(shù)時(shí)，人們開(kāi)始認(rèn)識(shí)到這個(gè)世界的神奇。目前，自然界中只有兩個(gè)超越數(shù)：（pi）和e（自然對(duì)數(shù)）。其他超越數(shù)是人為定義的。人們相信，如果我們能夠找到更多的超越數(shù)并揭開(kāi)這些超越數(shù)的奧秘，我們就能探索到宇宙的盡頭。