三角形的內(nèi)心是什么的交點(diǎn)(三角形的內(nèi)心性質(zhì))

1.真誠(chéng)：

定義：三角形三個(gè)高的交點(diǎn)。

〈2〉性質(zhì)：

【性質(zhì)1】銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)部；直角三角形的垂直中心位于直角的頂點(diǎn)；鈍角三角形的垂直中心在三角形的外部。

【性質(zhì)2】三角形的垂心是該直角三角形的內(nèi)心；或者換句話說(shuō)，三角形的內(nèi)心是其平行中心三角形的垂直中心。

【性質(zhì)3】垂心O相對(duì)于三邊的對(duì)稱點(diǎn)均在ABC的外接圓上。

【性質(zhì)4】在ABC中，共圓的四點(diǎn)有六組，相似直角三角形有三組（每組四個(gè)）。

【性質(zhì)5】O、A、B、C四點(diǎn)中的任意一點(diǎn)是以其余三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的重心（這四點(diǎn)稱為重心群）。

【性質(zhì)6】ABC、ABO、BCO、ACO的外接圓是等圓。

【性質(zhì)7】三角形任意頂點(diǎn)到垂直中心的距離等于外心到對(duì)邊距離的兩倍。

【性質(zhì)8】設(shè)O、H分別為ABC的外心和垂心，則BAO=HAC，ABH=OBC，BCO=HCA。

【性質(zhì)9】銳角三角形的垂心到其三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)接圓和外接圓半徑之和的兩倍，即AH+BH+CH=2(r+R）。

【性質(zhì)10】銳角三角形的垂直中心是垂直三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)切三角形中（頂點(diǎn)在原三角形的邊上），垂直三角形的周長(zhǎng)最短。

【性質(zhì)11】設(shè)H為非直角三角形的垂心，D、E、F分別為H在BC、CA、AB上的投影。H1、H2、H3分別為AEF、BDF、CDE的重心。則DEFH1H2H3。

【性質(zhì)12】三角形的重心H的整形三角形的三條邊與原三角形各頂點(diǎn)的外接圓的切線平行。

2.內(nèi)心

定義：三角形的三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，即內(nèi)切圓的圓心。

即AE、BF、CD分別平分角BAC、角ABC、BCA，AE、BF、CD交于O點(diǎn)。O點(diǎn)為ABC的圓心。

〈2〉性質(zhì)：

【性質(zhì)1】三角形中心到三邊的距離相等，且都等于內(nèi)接圓的半徑r。

【性質(zhì)2】BOC=90+BAC/2。

【性質(zhì)3】在RtABC中，A=90，三角形的內(nèi)切圓在D處與BC相切，則SABC=BDxCD

3、重心：

重心的定義：重心是三角形三條中線的交點(diǎn)。

重心性質(zhì)：

【性質(zhì)1】三角形重心到邊中心的距離與到與該邊相對(duì)的頂點(diǎn)的距離之比為1:2，即OD:OA=1:2；

OE:OC=1:2;

OF:OB=1:2。

【性質(zhì)2】重心與三角形三個(gè)頂點(diǎn)組成的三個(gè)三角形的面積相等，即SAOB=SBOC=SAOC。即重心到三邊的距離與三邊的長(zhǎng)度成反比。

【性質(zhì)3】三角形的重心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和最小。

【性質(zhì)4】在平面直角坐標(biāo)系中，重心坐標(biāo)為頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均值。即在ABC中，若點(diǎn)A(X1,Y1)、B(X2,Y2)、C(X3,Y3)，則中心點(diǎn)O的坐標(biāo)為{(X1+2+X3)/3，(Y1+Y2+Y3)/3}。

4、外部中心：

外心定義：外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，即外接圓的圓心。

〈2〉外心的性質(zhì)：

【性質(zhì)1】若O為ABC的外心，則BOC=2A（A為銳角或直角）或BOC=360-2A（A為鈍角）。

【性質(zhì)2】當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，外心在三角形內(nèi)部；當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，外心在三角形之外；當(dāng)三角形為直角三角形時(shí)，外心在斜邊上，且斜邊的中點(diǎn)重合。

【性質(zhì)3】外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即OA=OB=OC。

5.注意：

〈1〉邊中心的定義：

它是三角形的兩條外角平分線和一條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)。

〈2〉對(duì)中心的性質(zhì)：

【性質(zhì)1】三角形的周心到三邊的距離相等，即OE=OF=OG。

【性質(zhì)2】任意三角形都有三個(gè)外心，且不相鄰的內(nèi)角平分線通過(guò)外心。

【性質(zhì)3】任意三角形都有三個(gè)外接圓和三個(gè)外心。中心必須在三角形之外。即O1、O2、O3是ABC的三個(gè)外接圓，1、2、3是ABC的三個(gè)外心，且都在ABC之外。

【性質(zhì)3】直角三角形斜邊上的切圓半徑等于三角形周長(zhǎng)的一半{假設(shè)ABC為Rt，A=90度，O1為直角三角形斜邊上的切圓斜邊BC，則此邊切圓的半徑R1=1/2(AB+BC+AC)}。