滑塊木板滑動(dòng)摩擦力方向判斷(木板滑動(dòng)摩擦力的高中物理題)
對(duì)于高中物理中的木滑塊問(wèn)題，分析往往需要分段考慮，求解過(guò)程非常揪心。這里有一個(gè)高層次的視角，即計(jì)算物理的視角，可能有助于老師或?qū)W生理解木制滑塊問(wèn)題。
木制滑塊問(wèn)題的難點(diǎn)在于摩擦力的方向總是會(huì)改變。高中物理的方法是基于同速突變等方法分段考慮，這導(dǎo)致了復(fù)雜的分類(lèi)討論。如果你不小心，你就會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤。我們先來(lái)分析一下摩擦力的方向，注意它只與正負(fù)相對(duì)速度有關(guān)，所以可以用符號(hào)函數(shù)來(lái)表示。符號(hào)函數(shù)定義為
0\\0x=0\\-1x0rame'tabindex='0'data-mathml='sgn(x)={1xgt;00x=0#x2212;1xlt;0'角色='演示'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'sgn(x)={1x00x=01x0\rmsgn(x)=\left\{\begin{array}{lr}1\quadx0\\0x=0\\-1x0\end{數(shù)組}\right.\\
其圖像如圖1所示，
圖1：Sign函數(shù)但實(shí)際上，sign函數(shù)存在不連續(xù)性，在數(shù)值計(jì)算中很難處理，所以可以用雙曲正切函數(shù)代替，即
rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='tanh#x2061;(x/#x03F5;)'角色='演示文稿'tanh(x/)\tanh{(x/\epsilon)}，rame'tabindex='0'style='字體大?。?00%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)數(shù)學(xué)='#x03F5;'role='presentation'\epsilon表示符號(hào)發(fā)生變化的過(guò)渡區(qū)域的厚度。圖2顯示不同ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='#x03F5;'role='presentation'\epsilon情況下的函數(shù)圖像。
圖2：雙曲正切函數(shù)可見(jiàn)，rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='#x03F5;'role='presentation'\epsilon越小，圖像越接近符號(hào)函數(shù)。一般我會(huì)選擇rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='#x03F5;=10#x2212;9'role='presentation'=109\epsilon=10^{-9}，但是有的同學(xué)可能會(huì)說(shuō)會(huì)害怕，所以后續(xù)分析只會(huì)取為rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='#x03F5;=0.001'角色='演示'=0.001\epsilon=0.001。我們用一個(gè)具體的例子來(lái)說(shuō)明這個(gè)方法。這個(gè)例子來(lái)自知友
@袁野的一篇文章，其經(jīng)典做法請(qǐng)參考袁野：袁野談經(jīng)典19：板塊問(wèn)題的解決方案“牛二+運(yùn)動(dòng)+v-t圖像”42條同意·8條評(píng)論文章示例：如圖圖中，粗略放置了一個(gè)質(zhì)量塊'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='m=4kg'role='presentation'm=4kgm=4\,\rmkg一塊質(zhì)量長(zhǎng)的木板'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)放在長(zhǎng)木板的右端。-mathml='mA=1kg'role='presentation'mA=1kgm_A=1\,\rmkg滑塊A，將質(zhì)量rame'tabindex='0'style='font-size:100放在長(zhǎng)木的左端木板;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='mB=5kg'role='presentation'mB=5kgm_B=5\,\rmkg滑塊B，兩個(gè)滑塊與長(zhǎng)木板之間的動(dòng)摩擦系數(shù)'1=0.5_1=0.5，長(zhǎng)木板與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='#x3BC;2=0.1'角色='演示'2=0.1_2=0.1。在某一時(shí)刻，兩個(gè)滑塊拉動(dòng)'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='v0=3m/s'role='presentation'v0=3m/sv_0=3\,\rmm/s以相反方向移動(dòng)。當(dāng)兩個(gè)滑塊相遇時(shí)，A和長(zhǎng)木板恰好相對(duì)靜止。當(dāng)?shù)刂亓铀俣葹閞am'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='g=10m/s2'角色='演示'g=10m/s2g=10\,\rmm/s^2
，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，求：
(1)當(dāng)滑塊B開(kāi)始移動(dòng)直至滑塊B與長(zhǎng)板相對(duì)靜止時(shí)，滑塊B與長(zhǎng)板之間的摩擦產(chǎn)生熱量。
(2)滑塊A、B開(kāi)始移動(dòng)時(shí)的距離。圖3分析：設(shè)滑塊和木板的速度為'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='vA'角色='演示'vAv_A，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='vB'角色='演示'vBv_B，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='v'role='presentation'vv，則滑塊A上的摩擦力可表示為
rame'tabindex='0'data-mathml='fA=#x2212;sgn(vA#x2212;v)#x03BC;1mAg=#x2212;tanh#x2061;(vA#x2212;v#x03F5;)#x03BC;1mAg'角色='演示'樣式='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'fA=sgn(vAv)1mAg=tanh(vAv)1mAgf_A=-{\rmsgn}(v_A-v)\mu_1m_Ag=-\tanh\Big(\frac{v_A-v}{\epsilon}\Big)\mu_1m_Ag\\同理，可以表示滑塊B與木板之間受到的摩擦力的關(guān)系，最終三個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為，
rame'tabindex='0'data-mathml='mAdvAdt=#x2212;tanh#x2061;(vA#x2212;v#x03F5;)#x03BC;1mAg'角色='演示'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'mAdvAdt=tanh(vAv)1mAgm_{A}\frac{dv_A}{dt}=-\tanh\Big(\frac{v_A-v}{\epsilon}\Big)\mu_1m_Ag\\rame'tabindex='0'data-mathml='mBdvBdt=#x2212;tanh#x2061;(vB#x2212;v#x03F5;)#x03BC;1mBg'角色='演示'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'mBdvBdt=tanh(vBv)1mBgm_{B}\frac{dv_B}{dt}=-\tanh\Big(\frac{v_B-v}{\epsilon}\Big)\mu_1m_Bg\\rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='mdvdt=tanh#x2061;(vA#x2212;v#x03F5;)#x03BC;1mAg+tanh#x2061;(vB#x2212;v#x03F5;)#x03BC;1mBg#x2212;tanh#x2061;(v#x03F5;)#x03BC;2(mAg+mBg+mg)'角色='演示'mdvdt=tanh(vAv)1mAg+tanh(vBv)1mBgtanh(v)2(mAg+mBg+mg)m\frac{dv}{dt}=\tanh\Big(\frac{v_A-v}{\epsilon}\Big)\mu_1m_Ag+\tanh\Big(\frac{v_B-v}{\epsilon}\Big)\mu_1m_Bg\\-\tanh\Big(\frac{v}{\epsilon}\Big)\mu_2(m_Ag+m_Bg+mg)這是一階非線性普通微分方程組，數(shù)值解比較簡(jiǎn)單，注意初始條件，
rame'tabindex='0'data-mathml='vA(0)=#x2212;3,vB(0)=3,v(0)=0'角色='演示文稿'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'vA(0)=3,vB(0)=3,v(0)=0v_A(0)=-3,\quadv_B(0)=3,\quadv(0)=0\\這里使用數(shù)學(xué)軟件rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='Mathematica'role='presentation'MathematicaMathematica解決了它。大約10行代碼，我們得到了ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='v#x2212;t'角色='演示'vtv-t圖片，
圖5：v-t圖。可見(jiàn)，在分段分析之前，我們已經(jīng)借助數(shù)值算法毫不費(fèi)力地獲得了運(yùn)動(dòng)的物理圖像，加深了我們對(duì)問(wèn)題的理解。它可以用來(lái)測(cè)試解題過(guò)程，也可以利用一些編程技巧直接得到答案，非常好用。
[數(shù)學(xué)代碼]
清除['全局`*'];m=4;mA=1;mB=5;\[Mu]1=0.5;\[Mu]2=0.1;g=10;\[Epsilon]=0.001;eqA=mAvA[t]==-Tanh[(vA[t]-v[t])/\[Epsilon]]*\[Mu]1*mA*g;eqB=mBvB[t]==-Tanh[(vB[t]-v[t])/\[Epsilon]]*\[Mu]1*mB*g;eq=mv[t]==Tanh[(vA[t]-v[t])/\[Epsilon]]*\[Mu]1*mA*g+Tanh[(vB[t]-v[t])/\[Epsilon]]*\[Mu]1*mB*g-Tanh[v[t]/\[Epsilon]]*\[Mu]2*(mAg+mBg+mg);sol=NDSolve[{eqA,eqB,eq,vA[0]==-3,vB[0]==3,v[0]==0},{vA,vB,v},{t,0,2}]//First;Plot[{vA[t]/.sol,vB[t]/.sol,v[t]/.sol},{t,0,1.5},PlotRange-All]